Corrigé du Bac Blanc de Maths Terminale - Sujet 21

Ce sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la Terminale spécialité est un excellent entraînement pour l'épreuve finale. Il balaye une grande partie du programme d'analyse, en se concentrant sur les limites de fonctions, la fonction exponentielle, la dérivation, la convexité et l'étude approfondie des suites numériques. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas à travers chaque exercice pour vous aider à maîtriser les concepts clés et les techniques de résolution.

Exercice 1 : Vrai ou Faux avec Justification (6 points)

Cet exercice teste votre compréhension fine des théorèmes sur les limites de fonctions et de suites. Pour chaque affirmation, il faut déterminer si elle est vraie ou fausse et fournir une justification rigoureuse.

• Affirmation 1 : Étude de la limite d'une fonction rationnelle `f(x) = \frac{-4x}{5-x}` quand `x` tend vers `5` par valeurs supérieures. Il s'agit d'analyser le signe du dénominateur pour conclure.
• Affirmation 2 : Calcul de la limite d'une composition de fonctions avec l'exponentielle, `g(x) = e^{3-\frac{2}{x^2}}` en `0`. La clé est de trouver la limite de l'exposant d'abord.
• Affirmation 3 : Analyse de la convergence de la suite `(u_n + \frac{1}{u_n})` sachant que `(u_n)` est une suite convergente à termes positifs. Attention au cas où la limite de `(u_n)` est nulle.
• Affirmation 4 : Question théorique sur les opérations sur les limites de suites. Si `(v_n + w_n)` converge, la convergence de `(v_n - w_n)` n'est pas garantie. Un contre-exemple est nécessaire.
• Affirmation 5 : Application des théorèmes de croissances comparées pour la limite de `\frac{e^x}{f(x)}` où `f` tend vers `+\infty`.
• Affirmation 6 : Utilisation du théorème des gendarmes pour déterminer la limite de `f(x)e^{-x}` à partir d'un encadrement de `f(x)`.

Exercice 2 : Étude de Fonction Complète (10 points)

Cet exercice est une étude de fonction classique mais complète, portant sur `f(x) = \frac{e^x}{x}` sur l'intervalle `]0; +\infty[`. C'est un incontournable du programme de Terminale.

1. Détermination de la limite en `+\infty` en utilisant les croissances comparées.
2. Justification de la présence d'une asymptote verticale en calculant la limite en `0^+`.
3. Calcul de la fonction dérivée `f'(x)` en appliquant la formule de dérivation d'un quotient `(\frac{u}{v})'`.
4. Construction du tableau de variations de `f` en étudiant le signe de la dérivée, et en y reportant les limites et les extrema.
5. Calcul de la dérivée seconde `f''(x)` pour préparer l'étude de la convexité.
6. Étude du signe de `f''(x)` pour déterminer les intervalles où la fonction est convexe ou concave, et identifier d'éventuels points d'inflexion.

Exercice 3 : Modélisation avec une Suite Arithmético-Géométrique (13 points)

Ce problème concret, sur l'évolution du nombre d'abonnés, se modélise par une suite arithmético-géométrique. C'est un excellent exercice pour appliquer méthodiquement les techniques d'étude de ce type de suite.

• Établissement de la relation de récurrence `u_{n+1} = 0,9 u_n + 250`.
• Mise en place d'un raisonnement par récurrence pour démontrer que la suite est majorée par 2500.
• Étude du sens de variation de la suite `(u_n)`.
• Application du théorème de la convergence monotone (suite croissante et majorée) pour prouver que la suite converge.
• Introduction d'une suite auxiliaire `(t_n)` pour se ramener à une suite géométrique. On démontre que `t_n = u_n - 2500` est géométrique.
• Détermination de la forme explicite de `(u_n)` à partir de celle de `(t_n)`.
• Calcul de la limite de `(u_n)` et interprétation du résultat dans le contexte du problème.
• Analyse et complétion d'un algorithme en Python.

Exercice 4 : Suites Entrelacées et Convergence (11 points)

Cet dernier exercice, plus théorique, porte sur deux suites définies par une récurrence croisée. Il mobilise des outils puissants de l'analyse des suites.

1. Calcul des premiers termes pour se familiariser avec les suites.
2. Démonstration de la monotonie d'une des suites.
3. Utilisation d'un raisonnement par récurrence pour établir une minoration de la suite `(a_n)`.
4. Détermination de la limite de `(a_n)` par le théorème de comparaison.
5. Étude d'une suite quotient `q_n = \frac{b_n}{a_n}`. On utilise un encadrement et le théorème des gendarmes pour trouver sa limite, qui se révèle être `\sqrt{3}`.
6. Vérification d'une relation de récurrence pour la suite `(q_n)`.
7. Interprétation d'une fonction Python qui met en œuvre la suite `(q_n)` pour trouver une approximation de `\sqrt{3}`.