4. Démontrer qu'une suite est arithmétique

Introduction

Allez les amis, on est parti pour étudier un réflexe que vous devez avoir. On va voir comment démontrer qu'une suite est arithmétique. C'est parti. Donc, ce que j'aimerais bien que vous vous mettiez dans la tête, c'est que pour montrer qu'une suite est arithmétique, ça va toujours être le même procédé. Vous avez calculé \(u_{n+1}\), vous avez calculé \(u_n\), vous allez dire : "Ben, je fais \(u_{n+1} - u_n\)", vous allez bosser, vous allez bosser, vous allez bosser et à la fin vous allez arriver à un nombre réel qui sera la raison. C'est aussi simple que ça. Je calcule \(u_{n+1}\), je calcule \(u_n\), je fais la différence, je simplifie, je simplifie, je simplifie jusqu'à ce que j'arrive à la raison.

Exemple 1

Allez, on se fait pour celle-là : \(u_n = 27 - 4n\). Donc, \(u_{n+1} = 27 - 4(n+1)\). Là, j'avais \(u_n = 27 - 4n\). Donc ici, \(u_{n+1} = 27 - 4n - 4\). Donc, \(u_{n+1} - u_n = 27 - 4n - 4 - (27 - 4n)\). Je recopie : \(27 - 4n - (u_n + 1) - u_n = 23 - 4n - 4\). Donc, \(23 - 4n - 4\). Attention, les parenthèses, tout ça. Donc, \(27 - 4n - 4\). Il va simplifier avec moi : \(-4n\), parce que \(+4n\), \(23 - 27\), ça me fait \(-4\), et c'est terminé. J'ai bien \(u_{n+1} - u_n\) qui vaut un nombre entier, un nombre réel, en l'occurrence un nombre entier, donc un modèle. Et ce nombre réel, c'est ma raison. Terminé. C'est aussi simple que ça.

Exemple 2

En fait, c'est beaucoup plus compliqué que ça, mais là, je vous ai mis un cas très simple. Vous allez voir que cet exercice-là, on va le retrouver dans une compétence plus tard, qui est l'exercice exact que vous allez avoir au contrôle, c'est-à-dire une suite, une autre suite, et on mélange les deux. Si vous ne révisez pas cela, il est probable que vous n'arriverez jamais à faire l'exercice du contrôle. On s'est légèrement orienté. Cette suite-là, si je vous demande de démontrer qu'elle est arithmétique, vous vous dites : "Mais il nous prend vraiment pour une bille, parce que elle est visiblement arithmétique. Pour avoir le terme suivant, je prends le terme précédent +3. C'est l'expression canonique d'une suite arithmétique. Donc, c'est évident qu'elle est arithmétique." Mais là, moi, je suis mathématicien, je vous dis : "Attends, c'est évident pour toi, mais prouve-le. Montre que c'est une suite arithmétique." Et là, vous vous dites : "Comment je prouve ça ?" Toujours la même technique : \(u_{n+1} - u_n\). Je travaille, je travaille, je travaille, à la fin, je vais arriver à la raison. Comment je fais, sachant que je n'ai pas \(u_n\), j'ai juste \(u_n + 3\) ? Et bien là, ce n'est pas là un problème. Voyez ce truc-là, quand elle est définie de manière explicite, il suffit juste d'enlever \(u_n\) des deux côtés. Pourquoi ? Parce que ça et ça, ça simplifie, et j'ai directement \(u_{n+1} - u_n = 3\). Donc, j'ai directement démontré que c'était une suite arithmétique de raison 3. On vous a mis un ou deux exercices ici, faites-les. Mais moi, ce que je voudrais vraiment que vous reteniez, c'est que la technique pour montrer qu'une suite est arithmétique, c'est le calcul de \(u_{n+1} - u_n\), et de montrer que ça donne une constante, et que cette constante, elle a le bon goût de s'appeler la raison.