13. Déterminer convexité et inflexion en dérivant deux fois

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir la dernière technologie que vous avez pour réguler la convexité d'une fonction : c'est la dérivée seconde. On se fait ça tout de suite. Pour rappel, il y a trois manières d'étudier la convexité d'une fonction. D'abord, je regarde si elle est en dessous ou au-dessus de ses tangentes. Ensuite, je regarde si la dérivée est croissante ou décroissante. Et enfin, je vérifie si la dérivée seconde est positive ou négative. Donc, on a un truc qui concerne \(f\), un truc qui concerne \(f'\) et un truc qui concerne \(f''\) (la dérivée seconde) qu'on va voir tout de suite.

Calcul de la dérivée seconde

La dérivée seconde de \(f\) doit être calculée avant d'étudier. Donc, c'est ce que je veux faire. Pour calculer la dérivée seconde, je commence par calculer la dérivée première, \(f'(x)\), et puis je la dérive. Donc, \(f'(x)\) est la forme exponentielle de \(2x\). On sait que la dérivée de \(e^{2x}\) est \(e^{2x}\). Donc, \(f'(x) = 2x e^{2x} + 1\). Maintenant, pour calculer la dérivée seconde, \(f''(x)\), il faut faire attention car c'est un produit de fonctions. La dérivée d'un produit de fonctions est \(u'v + uv'\). Donc, quand je dérive \(f'(x)\), je dois le faire en deux étapes : je dérive \(2x\) et je garde \(e^{2x}\), puis je garde \(2x\) et je dérive \(e^{2x}\). Donc, \(f''(x) = 2 e^{2x} + 4x^2 e^{2x}\).

Étude de la convexité

Maintenant, retenez que quand la dérivée seconde est positive, la fonction est convexe. Quand la dérivée seconde est négative, la fonction est concave. Donc, il faut étudier le signe de \(f''(x)\). Pour cela, on fait un tableau de signes. On a \(f''(x) = (4x^2 + 2) e^{2x}\). C'est un produit, donc on fait un tableau avec une première ligne pour \(4x^2 + 2\) et une deuxième ligne pour \(e^{2x}\). Ensuite, on fait la règle des signes pour avoir le produit. On sait que \(e^{2x}\) est toujours positif, quel que soit \(x\). Donc, il suffit d'étudier le signe de \(4x^2 + 2\). On peut voir que \(4x^2 + 2\) est toujours positif. Donc, \(f''(x)\) est toujours positif. En conclusion, la fonction est convexe. Vous pouvez maintenant vous entraîner à faire ce genre d'exercices. Vous êtes des champions !