Analyse du sujet de mathématiques - Niveau Terminale Spécialité

Ce contrôle de mathématiques pour les élèves de Terminale en spécialité est une excellente évaluation des compétences clés sur plusieurs chapitres fondamentaux du programme. D'une durée d'une heure, il balaye la loi binomiale, les probabilités conditionnelles, le calcul de limites et la dérivation de fonctions composées. Ce sujet, avec calculatrice autorisée, est un très bon entraînement pour le baccalauréat. Découvrez notre analyse détaillée et notre corrigé pour chaque exercice.

Exercice 1 : Maîtrise de la Loi Binomiale (9 points)

Cet exercice se concentre sur l'application de la loi binomiale dans un contexte industriel. On étudie la production d'articles dont certains peuvent être défectueux avec une probabilité \( p = 0,1 \). Une variable aléatoire \( X \) est définie pour compter le nombre d'articles défectueux dans un lot de 30.

• Question 1 : La première étape consiste à justifier l'utilisation d'une loi binomiale. Il faut vérifier les conditions d'un schéma de Bernoulli : répétition d'une expérience à deux issues (succès/échec), de manière indépendante, avec une probabilité de succès constante. Ici, il s'agit de la répétition de 30 épreuves de Bernoulli indépendantes, le "succès" étant "l'article est défectueux". Les paramètres sont donc \( n=30 \) et \( p=0,1 \).
• Question 2 : On demande de calculer l'espérance \( E(X) \). Il suffit d'appliquer la formule \( E(X) = n \times p \). L'interprétation est cruciale : en moyenne, sur un grand nombre de lots de 30 articles, on s'attend à trouver \( E(X) \) articles défectueux.
• Question 3 : Cette question aborde le calcul de probabilités spécifiques :
  • Calcul de \( P(X=3) \), la probabilité d'avoir exactement 3 articles défectueux. Cela se fait à l'aide de la calculatrice ou de la formule \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \).
  • Calcul de \( P(X \le 4) \), une probabilité cumulée, qui s'obtient directement avec les fonctions dédiées de la calculatrice.
  • Calcul de la probabilité d'avoir "au moins un" article défectueux. C'est un classique qui requiert de penser à l'événement contraire : \( P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) \).
• Question 4 : Une question plus technique qui demande de trouver le plus petit entier \( k \) tel que \( P(X \le k) \ge 0,9999 \). Il faut utiliser la fonction de répartition de la loi binomiale sur la calculatrice, souvent en testant des valeurs ou en utilisant le mode table.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles et Arbres Pondérés (6 points)

Ce deuxième exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles dans le contexte d'une population de lycée. Il évalue la capacité à modéliser une situation à l'aide d'un arbre et à appliquer les formules clés.

• Question 1 : La compétence fondamentale ici est de construire un arbre pondéré. On part de la première partition (Fille/Garçon) puis on ajoute les branches conditionnelles (Déjeune/Ne déjeune pas à la cantine). Il est essentiel de bien placer les probabilités données : \( P(F) \), \( P_F(C) \), et \( P_{\bar{F}}(C) \).
• Question 2 : Il s'agit de calculer la probabilité d'une intersection, \( P(\bar{F} \cap \bar{C}) \), en multipliant les probabilités le long de la branche correspondante de l'arbre.
• Question 3 : Pour justifier la probabilité totale \( P(C) \), il faut utiliser la formule des probabilités totales. On somme les probabilités des chemins menant à l'événement C : \( P(C) = P(F \cap C) + P(\bar{F} \cap C) = P(F) \times P_F(C) + P(\bar{F}) \times P_{\bar{F}}(C) \).
• Question 4 : La dernière question est un cas d'inversion de la conditionnalité. On cherche \( P_C(F) \) (probabilité d'être une fille sachant que l'élève déjeune à la cantine). On utilise la définition de la probabilité conditionnelle : \( P_C(F) = \frac{P(F \cap C)}{P(C)} \).

Exercice 3 : Limites de Fonctions et Dérivation (5 points)

Cet exercice final teste des compétences d'analyse de fonctions, essentielles en Terminale.

• Question 1 : Le calcul de \( \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{x^2} - 2\right)^4 \) nécessite la maîtrise des limites de fonctions composées. On détermine d'abord la limite de l'expression intérieure : \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2} - 2 = 0 - 2 = -2 \). Puis, par composition avec la fonction puissance 4, la limite finale est \( (-2)^4 = 16 \).
• Question 2 : On étudie la fonction \( f(x) = \sqrt{20 - 5x^2} \).
  • Il faut d'abord déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité. La fonction racine carrée est définie pour \( 20 - 5x^2 \ge 0 \) et dérivable pour \( 20 - 5x^2 > 0 \). La résolution de cette inéquation du second degré donne l'intervalle.
  • Ensuite, on doit calculer la dérivée de cette fonction composée. La fonction est de la forme \( \sqrt{u(x)} \) avec \( u(x) = 20 - 5x^2 \). On applique la formule \( (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \), ce qui donne \( f'(x) = \frac{-10x}{2\sqrt{20 - 5x^2}} \).