Contrôle Corrigé de Mathématiques : Suites Numériques et Récurrence en Terminale

Ce sujet de contrôle pour la classe de Terminale spécialité mathématiques est une évaluation complète sur les chapitres des suites numériques et du raisonnement par récurrence. D'une durée de deux heures, il couvre l'ensemble des compétences essentielles : conjecture de limites, calculs algébriques, levée d'indéterminations, démonstrations par récurrence et étude de suites arithmético-géométriques à travers un problème concret. Ce document est un excellent outil de révision pour préparer le baccalauréat.

Exercice 1 : Étude de limites de suites (7 points)

Cet exercice est une compilation de questions indépendantes visant à évaluer la maîtrise des différentes techniques de détermination de limites de suites.

• La première question demande une lecture graphique et numérique. À partir de tableaux de valeurs et de représentations graphiques, il faut conjecturer la convergence ou la divergence de quatre suites différentes, dont une suite arithmético-géométrique de la forme \(u_{n+1} = au_n + b\).
• La deuxième question se concentre sur le calcul de limites par opérations algébriques. Il s'agit d'appliquer les théorèmes sur les limites de sommes, produits et quotients de suites, en manipulant des termes comme \(5n - 2 + e^n\) ou \((3 + \frac{1}{n})(5 - \sqrt{n})\).
• La troisième question aborde la levée de formes indéterminées. Les élèves doivent transformer les expressions de suites, notamment des quotients de polynômes comme \(\lim_{n \to +\infty} \frac{3-8n}{2n+1}\), pour déterminer leur limite. La technique de factorisation par le terme de plus haut degré est ici fondamentale.
• Enfin, la dernière question propose d'étudier la suite \(u_n = -2n + (-1)^n\) et de justifier sa limite, qui est \(-\infty\), en utilisant un théorème de comparaison.

Exercice 2 : Raisonnement par récurrence (5 points)

Cet exercice se concentre sur l'application du raisonnement par récurrence à une suite définie par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 5u_n - 4n - 3\).

• Les premières questions consistent à calculer les premiers termes \(u_1\) et \(u_2\) pour s'approprier la suite et conjecturer son sens de variation.
• Le cœur de l'exercice est une démonstration par récurrence. Il faut prouver que pour tout entier naturel \(n\), l'expression explicite de la suite est \(u_n = 2 \times 5^n + n + 1\). Cette question teste la rigueur de la rédaction des trois étapes du raisonnement : initialisation, hérédité et conclusion.
• Une fois la forme explicite démontrée, il est demandé d'en déduire le sens de variation de la suite, puis de prouver l'inégalité \(u_n \ge n+1\) pour enfin déterminer la limite de \((u_n)\) par comparaison.

Exercice 3 : Problème de modélisation avec une suite arithmético-géométrique (8 points)

Ce dernier exercice est un problème complet qui modélise l'évolution d'une population d'oiseaux dans une réserve naturelle. C'est une application classique des suites arithmético-géométriques.

• La première étape consiste à traduire l'énoncé en langage mathématique pour établir que la suite \((u_n)\) modélisant le nombre d'oiseaux (en milliers) vérifie la relation de récurrence \(u_{n+1} = 0,75u_n + 3\), avec \(u_0 = 6\).
• La deuxième question propose une approche graphique pour construire les premiers termes de la suite à l'aide des droites d'équation \(y=x\) et \(y=0,75x+3\), permettant de conjecturer la monotonie et la limite de la suite.
• La suite de l'exercice suit la méthode classique d'étude de ces suites : on introduit une suite auxiliaire \((v_n)\) définie par \(v_n = u_n - 12\). Il faut alors démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique, déterminer sa raison et son premier terme, puis en déduire son expression explicite.
• En revenant à la suite \((u_n)\), on obtient sa forme explicite \(u_n = -6 \times (0,75)^n + 12\). Cette formule permet de calculer la limite de la suite et de l'interpréter dans le contexte du problème : la population d'oiseaux tend à se stabiliser vers 12 000 individus.
• L'exercice se termine par une question d'algorithmique en Python, où il faut compléter un programme qui détermine l'année à partir de laquelle la population dépassera un certain seuil (11 500 oiseaux).