Introduction
Allons-y, mes amis, nous allons démontrer par récurrence la formule des carrés. C'est une récurrence complexe que nous allons aborder tranquillement ici. Je vous rappelle que lorsque vous faites face à une démonstration par récurrence, vous devez identifier trois choses : ce que je dois démontrer, où je dois le démontrer et comment je vais le faire. Une fois ces trois éléments déterminés, nous pouvons commencer la récurrence proprement dite.
On vous demande de démontrer que \(A^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + N^2\) est égal à \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
Initialisation de la récurrence
La première chose à faire est de définir notre propriété de récurrence, c'est-à-dire \(P(n)\). Ce que nous voulons démontrer est simplement que \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). C'est notre \(P(n)\) initial.
La première étape de la récurrence est l'initialisation. Nous commençons par \(P(1)\) car nous voulons commencer à démontrer à partir de \(n = 1\). \(P(1)\) est vrai car \(1^2 = 1\). Est-ce égal à \(1(1+1)(2*1+1)/6\)? C'est-à-dire, est-ce bien \(1(2)(3)/6 = 1\)? Oui, c'est le cas. Donc \(P(1)\) est vrai.
Hérédité de la récurrence
L'étape suivante est l'hérédité, c'est-à-dire le moment crucial de la récurrence. Supposons qu'il existe un entier \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\) tel que \(P(n)\) soit vrai. Montrons que \(P(n+1)\) est également vrai.
L'avantage de cette formulation est qu'elle vous indique où commencer. Supposons qu'il existe un entier \(n\) tel que \(P(n)\) soit vrai. Nous commençons par écrire notre propriété de récurrence, \(P(n)\), qui est \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
Nous travaillons ensuite pour montrer que \(P(n+1)\) est également vrai. Cela signifie qu'à la fin de notre travail, nous aurons \(1^2 + 2^2 + \ldots + (n+1)^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\).
Pour arriver à ce résultat, nous devons ajouter \((n+1)^2\) des deux côtés de notre équation. En faisant cela, nous nous rendons compte que le terme de gauche plus \((n+1)^2\) est égal au terme de droite plus \((n+1)^2\). Nous avons donc fait le passage de \(P(n)\) à \(P(n+1)\).
Conclusion
La dernière étape consiste à vérifier que les deux côtés de notre équation sont bien égaux. Si c'est le cas, alors nous avons réussi à démontrer la formule des carrés par récurrence. La difficulté dans cette récurrence est de passer de \(P(n)\) à \(P(n+1)\) en ajoutant \((n+1)^2\) des deux côtés. Ensuite, nous devons vérifier que les deux côtés de notre équation sont bien égaux. Si c'est le cas, alors notre propriété est héréditaire et \(P(n)\) est vrai pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb{N}\). Bravo si vous avez réussi cet exercice, vous êtes des champions.