Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir très rapidement comment reconnaître un énoncé où il faut utiliser la formule des arrangements. On se fait ça. Vous avez un exercice de style : dans deux classes de 25 élèves, on élit un délégué, un vice-délégué, un secrétaire, donc trois personnes. Combien est-ce qu'on peut faire de bureaux différents ? Cet exercice met en évidence deux choses. Premièrement, que vous trouviez la formule pour le traiter, donc est-ce que c'est un arrangement, est-ce que c'est une puissance, est-ce que c'est un produit de factorielles, et ainsi de suite. Deuxièmement, que vous trouviez qui est \(n\) et qui est \(k\) pour la formule.
Reconnaissance de la formule adaptée
Pour la première partie, pour trouver la formule adaptée, on a cette fiche là. On prend cette fiche, on pose les questions dans l'ordre. La première question est : est-ce que je travaille sur un seul ensemble ? Donc à priori, votre délégué, votre vice-délégué et votre secrétaire, vous allez les prendre dans le même ensemble, l'ensemble de la classe des élèves. Donc on travaille sur un seul ensemble. Est-ce que l'ordre compte ? Alors regardez, vous avez élu un délégué et un vice-délégué. Est-ce que si on inverse les rôles, c'est la même chose ? Non, donc vous voyez bien que l'ordre compte. L'ordre, la position des élèves dans le trio du bureau des délégués, va faire que trois élèves peuvent former plusieurs bureaux différents.
Est-ce qu'il y a une remise ? Est-ce que vous pouvez avoir un bureau où vous prenez le même élève pour plusieurs postes ? Non, clairement pas. Il n'y a pas de remise, vous ne pouvez pas tirer le même élève plusieurs fois. Un élève ne peut pas occuper plusieurs postes. Donc à la question "est-ce qu'il y a une remise ?", on répond non.
Ce qui nous amène à la question intéressante : est-ce que c'est tout l'ensemble ou est-ce que c'est une partie de l'ensemble ? Quand on vous dit qu'il y a 25 élèves et que vous allez faire un bureau avec trois élèves, est-ce que vous avez plutôt l'impression qu'on va utiliser tout l'ensemble ou est-ce que vous avez plutôt l'impression qu'on va en utiliser qu'une partie ? Évidemment, on va n'utiliser qu'une partie, une partie constituée de trois éléments.
Application de la formule
Du coup, pour savoir qui est \(n\) et qui est \(k\) dans la formule \(\frac{n!}{(n-k)!}\), je vais dessiner mon ensemble là où je vais piocher les éléments, et je vais dessiner mes cases où je vais mettre les éléments que j'ai pioché dans cet ensemble. Qu'est-ce que j'ai choisi ? J'ai choisi des élèves. Combien d'élèves y a-t-il ? Il y a 25 élèves. Donc \(n = 25\). Ensuite, combien d'élèves vais-je choisir ? J'en vais en choisir 3, donc \(k = 3\).
Donc la formule que je vais utiliser est \(\frac{n!}{(n-k)!}\) avec \(n = 25\) et \(k = 3\). Donc ça va me faire \(\frac{25!}{(25-3)!} = \frac{25!}{22!}\). Et là, regardez comme c'est joli, \(\frac{25!}{22!}\) s'écrit en fait \(25 \times 24 \times 23\).
Je vous propose qu'on fasse un deuxième petit exercice pour essayer de comprendre avec d'autres mots quand est-ce qu'on doit utiliser la formule des arrangements.
Exercices supplémentaires
Exercice numéro 2 : Dans une épreuve de ski alpin, il y a sept participants. Combien de podiums peut-on faire ? On se pose la question : est-ce qu'on travaille avec un seul ensemble ou plusieurs ensembles ? Donc là, qu'est-ce qu'on va piocher pour faire un podium ? On va piocher des skieurs. Est-ce qu'on a plusieurs ensembles de skieurs ? Non, a priori c'est une course, on a un seul ensemble de skieurs.
Question suivante : est-ce que l'ordre compte ? Si on a deux skieurs sur un podium, vous vous doutez bien que ce n'est pas la même chose que d'avoir ces deux skieurs dans un ordre différent. Il y a un premier, un deuxième, et l'ordre compte.
Est-ce qu'il y a une remise ? Est-ce qu'on peut avoir deux fois le même skieur sur le podium ? Non, jamais. Quand on fait un podium, il n'y a pas de remise, personne ne peut avoir deux fois la même place.
Est-ce que je vais piocher tout l'ensemble ou une partie de l'ensemble ? Donc est-ce que quand je forme mon podium, je vais piocher tous les skieurs de la course ? Évidemment que non, un podium c'est trois personnes et dans la course il y a sept skieurs. Donc la pioche ne se fera pas sur tout l'ensemble.
On a toutes nos réponses. Je vais utiliser la formule \(\frac{n!}{(n-k)!}\) avec \(n = 7\) et \(k = 3\). Donc la formule ça va être \(\frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!}\) et ça ça fait \(7 \times 6 \times 5 = 210\) podiums différents.
Dernier exercice : combien peut-on former de nombres à cinq chiffres sachant que les cinq chiffres doivent tous être différents ? Est-ce que je travaille dans un seul ensemble ? Oui, je travaille dans l'ensemble des chiffres de 0 à 9. Est-ce que l'ordre compte ? Oui, dans un nombre l'ordre des chiffres compte évidemment. Est-ce qu'il y a une remise ? Non, dans l'énoncé on précise bien cinq chiffres tous différents. Est-ce que je travaille tout l'ensemble ou une partie de l'ensemble ? Il y a dix chiffres et j'en ai besoin de cinq pour faire mon nombre. Donc je ne prends pas tout l'ensemble, j'en prends seulement une partie.
Du coup, on connaît la formule, on sait que l'ensemble des chiffres dans lesquels je vais piocher c'est 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Je sais que dans cet ensemble il y a dix éléments et que je veux faire un nombre à cinq chiffres, donc \(k = 5\). Donc ma formule c'est \(\frac{10!}{(10-5)!}\).
Voilà, on a fait le tour. On a mis des petits exercices en dessous, vous allez défoncer ce contrôle, vous êtes des champions du futur.