Contrôle Corrigé de Mathématiques sur les Fonctions Exponentielles - Terminale Spécialité

Ce sujet de mathématiques de niveau Terminale Spécialité est une évaluation complète d'une heure portant sur les chapitres des fonctions exponentielles, des limites, de la continuité et des suites numériques. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser les notions fondamentales avant le baccalauréat. Le contrôle est structuré en trois exercices progressifs, balayant des compétences variées et essentielles du programme.

Exercice 1 : Calculs de limites et de dérivées (5 points)

Cet exercice est une série de questions indépendantes conçues pour tester la maîtrise des techniques de base sur les fonctions exponentielles.

• Question 1 : Calcul de la dérivée d'une fonction composée de la forme $10 \cdot u(x)^{-5}$ avec $u(x) = e^{2x} + 1$. Cette question évalue la maîtrise de la formule de dérivation $(u^n)' = n u' u^{n-1}$.
• Question 2 : Détermination de la limite en $+\infty$ de $f(x) = e^x - x^2 + x - 1$. Il s'agit de lever une forme indéterminée de type "$\infty - \infty$" en utilisant les théorèmes de croissance comparée entre la fonction exponentielle et les fonctions polynômes.
• Question 3 : Calcul de la limite en $+\infty$ de la fonction $f(x) = e^{\frac{x^2+x+1}{2x^2+1}}$. Cette question requiert l'application du théorème de composition des limites, en trouvant d'abord la limite de l'exposant.
• Question 4 : Recherche de la limite en $+\infty$ de $f(x) = xe^x - e^x \cos x$. Après factorisation par $e^x$, la résolution fait appel au théorème des gendarmes ou au théorème de comparaison pour encadrer le terme $x - \cos x$.

Exercice 2 : Étude d'une suite récurrente (5 points)

Cet exercice classique du baccalauréat lie l'étude d'une fonction à celle d'une suite définie par récurrence, $u_{n+1} = f(u_n)$. La fonction étudiée est $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0, +\infty[$.

• Questions 1 et 2 : Étude complète de la fonction $f$, incluant le calcul de sa limite en $+\infty$ (croissance comparée) et l'établissement de son tableau de variations complet via l'étude du signe de sa dérivée.
• Question 3 : Le cœur de l'exercice est une démonstration par récurrence. Il faut prouver que la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée, en montrant que pour tout entier $n$, on a $0 \le u_{n+1} \le u_n \le 1$.
• Questions 4 et 5 : La convergence de la suite est déduite grâce au théorème de la convergence monotone. La dernière étape consiste à déterminer la valeur de la limite $l$, qui est un point fixe de la fonction $f$, solution de l'équation $f(x) = x$.

Exercice 3 : Problème d'analyse complet avec fonction auxiliaire (10 points)

Ce problème complet est un grand classique d'étude de fonction, divisé en deux parties, où une fonction auxiliaire permet d'étudier une fonction principale.

• Partie A : Étude de la fonction auxiliaire $g(x) = e^x + x + 1$. On étudie entièrement cette fonction (limites, variations) pour ensuite appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Ceci permet de prouver que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ et de déterminer le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
• Partie B : Étude de la fonction principale $f(x) = \frac{xe^x}{e^x + 1}$. L'étude de $f$ est guidée par les résultats de la partie A. On montre que le signe de la dérivée $f'(x)$ dépend du signe de $g(x)$. L'étude inclut également le calcul des limites aux bornes, la mise en évidence d'une asymptote oblique (la droite d'équation $y=x$) et l'étude de la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote. Le tout est synthétisé dans un tableau de variations.