Obtenez une préparation complète pour le baccalauréat avec ce corrigé détaillé du sujet de Bac Blanc de mathématiques (Sujet 19) pour la classe de Terminale en spécialité maths. Ce sujet de 4 heures, avec calculatrice autorisée, couvre un large éventail de chapitres essentiels du programme, incluant les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, le dénombrement, l'étude de fonctions (exponentielle et logarithme), les suites numériques, la géométrie dans l'espace et le calcul intégral. Chaque exercice est analysé en profondeur pour vous aider à maîtriser les concepts clés et les méthodes de résolution.

Exercice 1 : Probabilités et Dénombrement

Cet exercice en trois parties est un classique des épreuves de bac sur les probabilités.

• Partie A : Probabilités conditionnelles. On travaille avec deux urnes, \(U_1\) et \(U_2\). Il s'agit de modéliser une expérience à deux étapes à l'aide d'un arbre de probabilités. Vous apprendrez à calculer des probabilités conditionnelles, comme \(P_{\overline{N_1}}(N_2)\), à utiliser la formule des probabilités totales pour trouver la probabilité d'un événement (\(P(N_2)\)), et à appliquer le principe de l'inversion d'arbre (ou la formule de Bayes) pour calculer une probabilité a posteriori.
• Partie B : Loi binomiale. L'expérience précédente est répétée \(n\) fois de manière indépendante. Il faut ici reconnaître et justifier un schéma de Bernoulli menant à une loi binomiale \(\mathcal{B}(n, p)\). L'objectif est de déterminer le nombre minimal d'essais \(n\) pour que la probabilité d'obtenir au moins un succès dépasse un certain seuil. Cela implique de résoudre une inéquation de la forme \(1 - (1-p)^n \ge 0,9\), nécessitant l'utilisation de la fonction logarithme népérien.
• Partie C : Dénombrement. Cette partie change légèrement l'expérience initiale en introduisant un tirage simultané de deux boules. Il est demandé de calculer le nombre de tirages possibles en utilisant les combinaisons, par exemple \(\binom{10}{2}\). Ces calculs de dénombrement servent ensuite à déterminer de nouvelles probabilités pour une expérience aléatoire complexe.

Exercice 2 : Étude de fonction et de suite récurrente

Cet exercice d'analyse se concentre sur la fonction \(f(x) = x^3 e^x\) et la suite définie par récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\).

• L'étude de la fonction \(f\) passe par le calcul de sa dérivée \(f'(x)\) en utilisant la formule de dérivation d'un produit. L'étude du signe de \(f'(x)\) permet de dresser le tableau de variations complet de \(f\).
• L'étude de la suite \((u_n)\) est guidée. Après le calcul des premiers termes, un raisonnement par récurrence est nécessaire pour démontrer un encadrement et la monotonie de la suite (par exemple, montrer que \(-1 \le u_n \le u_{n+1} \le 0\)).
• La convergence de la suite est déduite grâce au théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée est convergente). La dernière étape consiste à déterminer la limite \(l\) en résolvant l'équation \(f(l) = l\).

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace

L'objectif de cet exercice est de calculer la distance entre deux droites non coplanaires dans un repère orthonormé.

• Les bases sont d'abord vérifiées : savoir donner une représentation paramétrique d'une droite \((d_1)\) et démontrer que deux droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont non coplanaires.
• On introduit ensuite un plan \(P\). Il faut justifier son équation cartésienne, typiquement en vérifiant l'orthogonalité du vecteur normal donné avec deux vecteurs directeurs du plan.
• L'étape suivante consiste à étudier la position relative d'une droite et d'un plan, et à trouver leur point d'intersection.
• La résolution culmine avec le calcul de la distance entre deux points spécifiques \(E\) et \(F\), qui représente la distance minimale entre les deux droites. Cela se résume au calcul de la norme d'un vecteur \(\vec{EF}\).

Exercice 4 : Fonction Logarithme, Primitives et Intégrales

Ce dernier exercice est un problème d'analyse centré sur la fonction logarithme népérien, \(f(x) = 2 \ln(x)\).

• La première partie est consacrée au calcul d'aire. Il faut pour cela vérifier qu'une fonction donnée \(F(x) = 2(x \ln(x) - x)\) est bien une primitive de \(f(x)\) en la dérivant.
• Grâce à cette primitive, on peut calculer l'aire d'un domaine sous la courbe de \(f\) à l'aide d'une intégrale : \(\mathcal{A} = \int_{1}^{x_0} f(x) dx = F(x_0) - F(1)\).
• La seconde partie est plus géométrique. On étudie la tangente \(T\) à la courbe au point d'abscisse \(x_0\). Il faut déterminer son équation, puis trouver les coordonnées de son intersection avec l'axe des ordonnées.
• Le problème se conclut par une démonstration élégante : montrer qu'une certaine longueur, définie à partir de la tangente et d'une projection, est constante quelle que soit la valeur de \(x_0\).