Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale Spécialité est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser les chapitres fondamentaux sur la récurrence, les suites numériques et le dénombrement. Conçu pour être réalisé sans calculatrice, ce devoir met l'accent sur la rigueur du raisonnement, la maîtrise des théorèmes et la capacité à mener des calculs complexes. Retrouvez ci-dessous une analyse détaillée de chaque exercice, idéale pour une préparation efficace au baccalauréat.

Exercice 1 : Limites de suites et questions de cours

Cet exercice d'introduction balaye plusieurs compétences essentielles sur les limites de suites. Il faut faire preuve d'une solide maîtrise des techniques de calcul et des définitions du cours.

• Question 1 : Calcul de limites variées.
  • a. Une limite de suite polynomiale, \( \lim_{n \to +\infty} (-3n^2+6n+5) \), qui se résout en factorisant par le terme de plus haut degré.
  • b. Une forme indéterminée du type \( "+\infty - \infty" \) avec des racines carrées : \( \lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}) \). La technique de la quantité conjuguée est ici indispensable.
  • c. Une limite de suite rationnelle, \( \lim_{n \to +\infty} \frac{2+n-3n^2}{n^2+1} \), où l'on utilise la règle des monômes de plus haut degré.
• Question 2 : Vrai ou Faux. Ces questions testent la compréhension profonde des concepts. Il faut justifier rigoureusement si une suite bornée est toujours convergente et si une suite tendant vers \( +\infty \) peut être majorée.
• Question 3 : Utilisation des théorèmes de comparaison pour déterminer \( \lim_{n \to +\infty} (3n+(-1)^n) \).
• Question 4 : Restitution de connaissances. Il est demandé de rappeler la définition formelle d'une suite convergente, puis de l'utiliser pour démontrer une propriété sur les limites.

Exercice 2 : Étude complète d'une suite récurrente

Cet exercice est un classique d'étude de suite. On y explore le comportement de la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = \frac{u_n}{1+2u_n} \).

• Question 1 : Calcul des premiers termes pour s'approprier la suite.
• Question 2 : Le cœur de l'exercice, qui mobilise plusieurs outils d'analyse :
  • a. Un raisonnement par récurrence pour démontrer que la suite est positive (\( u_n > 0 \)).
  • b. L'étude du sens de variation en analysant le signe de la différence \( u_{n+1} - u_n \).
  • c. L'application du théorème de la limite monotone (ou théorème de convergence monotone) pour justifier la convergence de la suite, qui est décroissante et minorée.
• Question 3 : Introduction d'une suite auxiliaire \( x_n = \frac{1}{u_n} \) pour simplifier le problème. Il s'agit de démontrer que \( (x_n) \) est une suite arithmétique, de trouver son expression explicite, puis d'en déduire celle de \( (u_n) \) et enfin sa limite.

Exercice 3 : Récurrence, conjecture et comparaison

Cet exercice met l'accent sur la capacité à conjecturer puis à démontrer. On étudie la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 1 \) et \( u_{n+1} = u_n + 2n + 3 \).

• Questions 1 et 2 : Des questions de cours demandant la définition d'une suite divergente vers \( +\infty \) et la démonstration du théorème de comparaison.
• Question 3 : Application pratique.
  • a. Le calcul des premiers termes (\( u_1, u_2, u_3 \)) permet de se familiariser avec la suite.
  • b. L'étude de la monotonie est demandée.
  • c. Une démonstration par récurrence d'une inégalité (\( u_n > n^2 \)) est la clé pour la suite.
  • d. La limite de \( (u_n) \) est ensuite déduite grâce au théorème de comparaison.
  • e. L'étape finale consiste à conjecturer une expression de \( u_n \) en fonction de \( n \) (il s'agit de \( (n+1)^2 \)) et à la prouver par récurrence.

Exercice 4 : Suites arithmético-géométriques

Un exercice complet sur les suites arithmético-géométriques, un incontournable du programme de Terminale. La suite est définie par \( u_0 = 0 \) et \( u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{3}{2} \).

• Question 1 : Application de la méthode standard :
  • a. Introduction d'une suite auxiliaire \( (w_n) \) pour se ramener à une suite géométrique.
  • b. Détermination de la forme explicite de \( (w_n) \), puis de \( (u_n) \).
  • c. Étude de la convergence de \( (u_n) \) en calculant la limite de son expression explicite.
• Question 2 : Étude de la suite des sommes \( S_n = \sum_{k=0}^n u_k \). Il faut utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique pour trouver l'expression de \( S_n \) et en déduire sa limite.

Exercice 5 : Dénombrement

Ce dernier exercice aborde les bases du dénombrement avec un problème concret de playlists musicales.

• Question 1 : Il s'agit de déterminer le nombre de manières de choisir 10 chansons parmi 80, sans tenir compte de l'ordre. C'est un problème de combinaisons, résolu par le calcul de \( \binom{80}{10} \).
• Question 2 : Une fois les 10 chansons choisies, on s'intéresse au nombre de playlists possibles, c'est-à-dire au nombre d'ordres différents. Cela correspond à une permutation des 10 chansons choisies.