Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très rapidement comment trouver l'intersection d'un plan et d'une droite dont vous avez l'équation. On va faire ça tout de suite. Ce genre d'exercice arrive systématiquement au bac et au contrôle. Vous pouvez être sûr qu'à un moment ou un autre, vous allez vous retrouver avec l'intersection d'un point, d'une droite et d'un plan, notamment pour trouver des projets orthogonaux, des auteurs de droites, et ainsi de suite.

Calcul de l'intersection

Comment est-ce qu'on va calculer l'intersection ? Eh bien, on va tout simplement prendre l'équation du plan et remplacer \(x\), \(y\) et \(z\) par les valeurs en fonction du paramètre \(t\). On va donc se retrouver avec une équation où il n'y a plus que du \(t\). On résout cette équation pour trouver la valeur de \(t\), puis on remet \(t\) dans l'équation pour trouver les coordonnées du point d'intersection. Pourquoi est-ce qu'on fait ça ? Parce que l'on sait que notre point à l'intersection est à la fois sur la droite et sur le plan. Donc, on a à la fois l'équation de la droite et celle du plan qui sont vraies. Vu que ces deux couples d'équations sont vrais, on peut les mélanger et intégrer l'un dans l'autre pour les résoudre.

Exemple de calcul

Je prends les commandes et je remplace dans l'équation du plan \(x\) par sa valeur avec \(t\), \(y\) par sa valeur avec \(t\), et \(z\) par sa valeur avec \(t\). Je me retrouve avec \(x = 2t - y = -t - 2z = -2t = 0\). Je développe tout cela pour obtenir \(2t - t + 2t = 0\), ce qui simplifie en \(t + 3 = 0\), donc \(t = -3\). Super, j'ai trouvé \(t\). Je vais donc le réintégrer dans l'équation de la droite pour trouver les coordonnées du point d'intersection. J'obtiens \(x = 2(-3) + 1 = -5\), \(y = -(-3) - 2 = 1\), et \(z = -(-3) = 3\). Donc, les coordonnées de mon point d'intersection sont \((-5, 1, 3)\). En résumé, on part de l'équation du plan, on remplace dans le plan \(x\), \(y\), \(z\) en fonction des valeurs avec \(t\), et on trouve \(t\) qu'on remet dans l'équation de la droite pour trouver les coordonnées du point d'intersection. Vous êtes des champions, à vous de jouer !