Contrôle Corrigé de Maths Complémentaires en Terminale

Ce document présente un sujet de devoir commun corrigé pour les élèves de Terminale en option Maths Complémentaires. D'une durée de deux heures, ce contrôle couvre une grande partie du programme, incluant les suites, les modèles d'évolution, l'étude de fonctions (logarithme, exponentielle, convexité), les primitives, les équations différentielles, les probabilités conditionnelles et les statistiques à deux variables. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser en vue du baccalauréat. Ce sujet de maths type bac permet de balayer des compétences essentielles à travers des exercices variés et concrets.

Exercice 1 : Trois équations avec un logarithme

Cet exercice rapide évalue la maîtrise des fonctions logarithme népérien et exponentielle à travers la résolution d'équations et d'inéquations.

• La première question demande de résoudre dans ℝ l'équation e^2x - 5 = 0. Elle nécessite d'isoler l'exponentielle puis d'utiliser la fonction logarithme pour trouver la valeur exacte de x, soit x = ln(5)/2.
• La deuxième question est une équation avec des logarithmes : ln(2x) - ln(x-1) = ln(3) sur l'intervalle ]1; +∞[. Il faut ici mobiliser les propriétés algébriques du logarithme, en particulier ln(a) - ln(b) = ln(a/b), pour se ramener à une équation du premier degré.
• La troisième question est une inéquation 0,8ⁿ ≤ 0,1 à résoudre dans l'ensemble des entiers naturels ℕ. L'application de la fonction logarithme, en tenant compte de sa croissance et du signe de ln(0,8), est la clé pour déterminer l'ensemble des solutions.

Exercice 2 : La détection des fraudes à la carte bancaire

Cet exercice est un problème concret de probabilités conditionnelles. Il modélise un système de détection de fraude et demande de juger de la véracité de plusieurs affirmations en justifiant rigoureusement.

Le contexte est posé avec les probabilités d'un paiement frauduleux P(S) = 0,01, et les performances de l'algorithme de détection : P_S(F) = 0,90 (probabilité de signaler si c'est une fraude) et P_S̄(F) = 0,01 (probabilité de signaler à tort). Pour résoudre cet exercice, la construction d'un arbre pondéré est fortement recommandée.

• La première affirmation porte sur la probabilité totale qu'un paiement soit signalé, P(F). On la calcule avec la formule des probabilités totales : P(F) = P(S) × P_S(F) + P(S̄) × P_S̄(F).
• La deuxième affirmation évalue l'efficacité réelle du test : "un paiement signalé a plus d'une chance sur deux d'être frauduleux". Il s'agit de calculer P_F(S), la probabilité qu'un paiement soit frauduleux SACHANT qu'il a été signalé. Cela revient à inverser l'arbre de probabilité ou à utiliser la formule de Bayes.
• La troisième affirmation propose une variation du scénario (la proportion de fraudes augmente) et demande de réévaluer la performance du système, montrant l'impact de la probabilité à priori sur le résultat.
• La dernière question est une question de cours déguisée sur l'égalité (généralement fausse) entre P_A(B) et P_B(A).

Exercice 3 : Primitives et équation différentielle

Cet exercice en trois parties aborde des notions fondamentales d'analyse : le calcul de primitives et la résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre.

1. Il s'agit de déterminer l'unique primitive F d'une fonction polynôme f(x) = 6x² - 4x + 3 qui s'annule en 1. Cet exercice classique combine le calcul des primitives usuelles et la détermination d'une constante d'intégration grâce à une condition initiale.
2. La deuxième question demande de trouver une primitive de g(x) = 2x e^x². Il faut reconnaître une forme u'(x)e^u(x), dont une primitive est e^u(x).
3. La dernière partie porte sur l'équation différentielle (E): y' = -0,5y + 3. On demande de trouver la solution constante, puis l'ensemble des solutions de la forme y(x) = K e^ax - b/a. Ensuite, il faut identifier la solution particulière vérifiant h(0)=10 et enfin, calculer la limite de cette solution en +∞.

Exercice 4 : Une courbe et sa tangente

Cet exercice est une étude de fonction mêlant lecture graphique et calculs analytiques, centrée sur la notion de convexité. La fonction étudiée est f(x)=(x+1)e^-x.

• Lecture graphique : L'élève doit lire des valeurs, puis déterminer graphiquement les intervalles où la fonction semble convexe ou concave et identifier la nature du point de changement, un point d'inflexion.
• Position relative : En se basant sur la convexité, il faut déduire la position de la courbe par rapport à sa tangente au point d'inflexion. Une fonction est convexe si sa courbe est au-dessus de ses tangentes, et concave si elle est en dessous.
• Confirmation par le calcul : L'énoncé donne la dérivée seconde, f''(x)=(x-1)e^-x. L'étude du signe de f''(x) permet de valider rigoureusement les conjectures sur la convexité et la position du point d'inflexion.

Exercice 5 : La loi de Moore

Ce problème de statistiques à deux variables et de modélisation est basé sur un exemple célèbre, la loi de Moore. Il s'agit de modéliser une croissance exponentielle.

Face à un nuage de points (t_i, N_i) qui n'est clairement pas aligné, l'exercice guide vers un ajustement exponentiel. La méthode consiste à opérer un changement de variable en posant z_i = ln(N_i). Le nuage de points (t_i, z_i) peut alors être ajusté par une droite de régression z = at + b, obtenue à la calculatrice. Une fois l'équation de la droite obtenue, on en déduit le modèle exponentiel pour N en fonction de t en revenant à la variable initiale : N(t) = e^at+b. Les dernières questions utilisent ce modèle pour faire des prédictions et des calculs (temps de doublement, dépassement d'un seuil).

Exercice 6 : Tour d'horizon (QCM)

Ce QCM final sert de révision rapide sur plusieurs chapitres du programme. Chaque question demande une justification.

1. Suites : Déterminer la limite d'une suite arithmético-géométrique.
2. Limites et asymptotes : Identifier les équations des asymptotes d'une fonction rationnelle.
3. Dérivation : Calculer la dérivée d'un produit de fonctions, ici g(x)=xe^2x.
4. Intégration : Calculer une intégrale définie simple, ∫₀^{ln 2} e^x dx.
5. Lois de probabilité : Appliquer la fonction de répartition pour une loi exponentielle afin de calculer P(X ≤ 2).

Ce contrôle corrigé est un outil complet pour les élèves de terminale maths complémentaires désireux de s'évaluer et de progresser en vue des examens finaux.