Ce sujet de contrôle pour la Terminale en spécialité Maths Complémentaires est un excellent entraînement sur le chapitre "Dérivation et études de fonctions". Il aborde des points essentiels du programme comme le calcul de dérivées de fonctions composées (puissance, exponentielle), l'étude complète de fonctions avec tableau de variations, l'application du théorème des valeurs intermédiaires, le calcul d'équations de tangente et la lecture graphique. Ce corrigé détaillé vous permettra de vérifier vos connaissances et de vous préparer efficacement à une évaluation sur la dérivation.

Exercice 1 : Calcul de dérivées de fonctions composées

Cet exercice est une application directe des formules de dérivation, en particulier pour les fonctions composées. Il est crucial de maîtriser ces calculs qui sont à la base de toute étude de fonction.

• Pour la fonction \(f(x) = (3x^2 - 1)^2\), on utilise la formule de la dérivée d'une fonction puissance \((u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}\). Ici, \(u(x) = 3x^2 - 1\) et \(n=2\).
• La fonction \(g(x) = 4e^{-0.5x+2}\) se dérive avec la formule de la composée avec l'exponentielle \((e^u)' = u' \cdot e^u\). On a ici \(u(x) = -0.5x+2\).
• Enfin, pour \(h(x) = e^{x^2-2x}\), on applique la même formule \((e^u)'\) avec \(u(x) = x^2-2x\).

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction produit

Cet exercice classique d'étude de fonction combine plusieurs compétences. On étudie la fonction \(f(x) = (x-2)^2 e^x\).

La première question demande de calculer la dérivée. Il s'agit d'appliquer la formule de dérivation d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\), où \(u(x) = (x-2)^2\) est une fonction composée. Une fois la dérivée \(f'(x) = x(x-2)e^x\) obtenue, il faut étudier son signe pour dresser le tableau de variations. Comme \(e^x > 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui du polynôme du second degré \(x(x-2)\). On en déduit les variations de \(f\) sur l'intervalle \([-1; 3]\).

Exercice 3 : Application du théorème des valeurs intermédiaires

Cet exercice teste la capacité à interpréter un tableau de variations et à utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI). À partir du tableau de la fonction \(g\), il faut :

• Déterminer le nombre de solutions de l'équation \(g(x)=k\). On observe les variations de \(g\) sur chaque intervalle de monotonie. Si \(k\) est une valeur intermédiaire entre le minimum et le maximum sur un tel intervalle, alors l'équation admet une unique solution sur cet intervalle.
• Résoudre une inéquation du type \(g(x) \le k\). Cela revient à identifier les intervalles où la courbe de \(g\) se situe en dessous de la droite d'équation \(y=k\).
• Vérifier si une équation a des solutions en comparant la valeur cible au maximum global de la fonction.

Exercice 4 : Vrai ou Faux sur la dérivation

Cet exercice varié permet de balayer plusieurs concepts clés du chapitre sur la dérivation. Chaque affirmation doit être justifiée rigoureusement.

• Affirmation 1 : Étude des variations de \(k(x) = e^{-x^2}\). Il faut calculer la dérivée \(k'(x)\) et étudier son signe pour conclure.
• Affirmation 2 : Lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation. Si \(u'(x) = (x-1)^2\), alors \(u'(x) \ge 0\) pour tout réel \(x\), ce qui implique que la fonction \(u\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Affirmation 3 : Détermination de l'équation de la tangente. On applique la formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) pour la fonction \(m(x) = e^{2x}\) au point d'abscisse \(a=0\).
• Affirmation 4 : Calcul de la dérivée d'une fonction de la forme \(u^2\). Il faut appliquer la formule \((u^2)' = 2u'u\) et comparer le résultat à l'expression proposée.

Exercice 5 : Problème concret de vidange d'une cuve

Ce problème de modélisation utilise une fonction pour décrire un phénomène physique : la vidange d'une cuve. La hauteur d'eau est donnée par \(h(t) = (1 - 0.02t)^2\). Cet exercice permet de donner un sens concret aux outils d'analyse de fonction.

Les questions portent sur le calcul de la dérivée (vitesse de vidange), l'étude de son signe pour connaître l'évolution de la hauteur, et l'interprétation des résultats. La justification de l'existence d'une solution unique à l'équation \(h(t) = 0.5\) fait de nouveau appel au corollaire du TVI sur un intervalle où la fonction est strictement monotone. La résolution d'équations du second degré simples est également requise.

Exercice 6 : Analyse graphique d'une fonction et de sa tangente

Le dernier exercice est centré sur les compétences de lecture graphique. À partir de la courbe représentative d'une fonction \(f\) et de sa tangente en un point, il faut être capable de :

• Lire l'image d'un point, \(f(0)\), qui est l'ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées.
• Lire le nombre dérivé, \(f'(0)\), qui correspond au coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe en ce point.
• Dresser le tableau de variations de la fonction en observant ses extrema et ses intervalles de croissance et de décroissance.
• Déterminer graphiquement le nombre de solutions d'une équation de la forme \(f(x) = k\), en comptant le nombre de points d'intersection entre la courbe et la droite horizontale \(y=k\).

Ce contrôle de maths pour Terminale est donc très complet et constitue une excellente ressource pour réviser la dérivation et l'étude de fonctions.