Introduction
Allez les amis, on est parti pour faire deux choses. Premièrement, apprendre comment lever la valeur de la constante d'une primitive, le fameux plus \(C\) ou plus \(K\) que vous ajoutez à la fin de vos primitives. Et deuxièmement, on va faire la différence entre trouver toutes les primitives, trouver une primitive et trouver la primitive. On se fait ça tout de suite.
Recherche de la primitive
Dans tous les cas, quand vous avez un exercice comme ça, vous allez commencer par chercher la primitive en faisant membre par membre. Donc d'abord c'est là , ensuite celle-là . Ici, je sais que quelque chose que je pourrais dériver et qui donnerait \(f\) ça serait une fonction qui s'appellerait \(F\). Il y aurait un plus au milieu. Là , j'ai un \(3e^x\), donc je sais que ça commencerait par \(3\). Maintenant, je primitivise. La primitive de \(1\) c'est \(x\) et la primitive de \(e^x\), franchement, c'est \(e^x\). C'est assez facile à gérer.
Différence entre toutes les primitives, une primitive et la primitive
Si on me demande toutes les primitives, je sais que ça, quand je dérive, je tombe bien là -dessus. Donc ce \(F\) c'est bien une primitive. Sauf que \(F + 3\) c'est aussi une primitive, \(F + 4\) ça serait aussi une primitive, \(F - 5\) ça serait une primitive. Donc en fait, \(F + K\) avec \(K\) qui appartient à \(\mathbb{R}\), ça me donne toutes les primitives.
Si on me demande une primitive de \(f\), je n'ai pas besoin de m'embêter avec ça parce que si j'en veux une, sous-entendu n'importe laquelle, j'ai qu'à prendre \(K = 0\), tout simplement. Plus zéro et plus zéro, on ne le note même pas.
Maintenant, si je veux la primitive, c'est-à -dire une primitive particulière, \(K\) ne vaudra pas zéro. Je suis obligé de le remettre. Par contre, je vais pouvoir trouver sa valeur en disant : bon, là j'ai une inconnue, deux inconnues c'est pas possible. Sauf que je sais qu'elle s'annule en zéro, ou alors je sais que \(F(2.3) = 7\) ou \(F(-1) = 2\). En tout cas, je sais que \(F(0)\), c'est-à -dire \(3e^0 + 0 + K\), ça me fait zéro. Elle s'annule en zéro. Du coup, je sais que \(3e^0\) ça me fait \(3 + 0\), ça saute, plus \(K = 0\). Du coup, je sais que mon \(K\) il va au final valoir \(-3\).
Et du coup, la primitive particulière de \(F\) qui s'annule en \(0\) c'est \(F(x) = 3e^x + x - 3\). Et je peux conclure. À vous de jouer, on a mis des exercices en dessous pour que vous compreniez bien ces subtilités entre toutes, une et la primitive. Vous êtes des vrais champions.