Contrôle Corrigé de Maths Complémentaires sur l'Intégration
Découvrez notre sujet de maths corrigé pour la classe de Terminale, spécialité Maths Complémentaires, entièrement dédié au chapitre sur l'intégration. Ce contrôle de 30 minutes, sans calculatrice, est conçu pour évaluer la maîtrise des concepts fondamentaux : calcul de primitives, application du calcul intégral pour la détermination d'aires, et compréhension du théorème fondamental de l'analyse. Idéal pour s'entraîner et réviser avant une évaluation.
Ce document est une ressource pédagogique précieuse, proposant une analyse détaillée de chaque exercice et mettant en lumière les compétences clés du programme officiel. Il est parfait pour les élèves souhaitant consolider leurs connaissances sur les intégrales et leurs applications concrètes.
Exercice 1 : Quatre intégrales (6 points)
Cet exercice est un excellent test des compétences de base en calcul intégral. Il demande de calculer la valeur exacte de quatre intégrales distinctes, balayant ainsi les primitives des fonctions usuelles vues en Terminale. La maîtrise de cet exercice prouve une solide connaissance des formules de dérivation et d'intégration.
- Intégrale A : \( A = \int_{0}^{1} (3x^2 + 1) \,dx \). Cette première intégrale porte sur une fonction polynôme. Il s'agit de trouver une primitive de \(x \mapsto 3x^2 + 1\), qui est \(x \mapsto x^3 + x\), puis d'évaluer l'intégrale entre les bornes 0 et 1.
- Intégrale B : \( B = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \,dx \). Ici, on teste la connaissance de la primitive de la fonction inverse, qui est la fonction logarithme népérien. Le calcul \( [\ln(x)]_{1}^{e} \) est un grand classique.
- Intégrale C : \( C = \int_{0}^{\ln 3} e^x \,dx \). Cette question évalue la connaissance de la primitive de la fonction exponentielle, qui est elle-même. Un calcul simple mais fondamental.
- Intégrale D : \( D = \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2 + 1} \,dx \). Plus subtile, cette intégrale est de la forme \( \int \frac{u'(x)}{u(x)} \,dx \), dont une primitive est \( \ln(|u(x)|) \). Ici, \( u(x) = x^2 + 1 \). C'est un test de reconnaissance de formes.
Exercice 2 : Une courbe de Lorenz (6 points)
Cet exercice contextualise le calcul d'intégrales dans un problème économique, un type d'application fréquent en Maths Complémentaires. Il aborde la notion de courbe de Lorenz et d'indice de Gini pour mesurer les inégalités de revenus.
La fonction étudiée est \( L(x) = \frac{3x^2 + x}{4} \) sur l'intervalle \( [0, 1] \).
- La première question mélange lecture graphique et calcul pour interpréter la répartition des revenus.
- La compétence centrale est testée dans la deuxième question : il faut calculer l'aire \(\mathcal{A}\) comprise entre la droite d'équité parfaite d'équation \(y=x\) et la courbe de Lorenz \(C_L\). Cela se traduit par le calcul de l'intégrale : \( \mathcal{A} = \int_{0}^{1} (x - L(x)) \,dx \). Cet exercice est un cas d'école du calcul de l'aire entre deux courbes.
- La dernière question introduit l'indice de Gini, \( G = 2\mathcal{A} \), et demande de l'interpréter. Cela montre comment un outil mathématique, l'intégrale, permet de construire un indicateur économique pertinent pour comparer des situations réelles.
Exercice 3 : L'aire sous l'hyperbole (8 points)
Cet exercice, plus théorique, est un retour aux sources de la notion d'intégrale et du logarithme népérien. Il explore la fonction \( F(x) \) définie par une intégrale, reliant aire, primitive et fonction. On y étudie l'aire sous la courbe de la fonction inverse \( y = \frac{1}{t} \).
La fonction est définie pour \( x \ge 1 \) par \( F(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \,dt \).
- La première question est une simple application des propriétés de l'intégrale : calculer \(F(1)\).
- La deuxième question est une question de cours fondamentale. Elle demande d'énoncer le théorème fondamental de l'analyse qui garantit que \( F \) est dérivable et de donner sa dérivée \( F'(x) \). C'est le lien essentiel entre intégrale et primitive.
- La troisième question utilise ce résultat pour prouver que \( F(x) = \ln(x) \), en rappelant que deux fonctions ayant la même dérivée sur un intervalle ne diffèrent que d'une constante. Cela constitue une définition de la fonction logarithme par l'intégrale.
- La dernière question est un exercice classique d'encadrement d'intégrale. En utilisant la décroissance de la fonction inverse, on compare l'aire \( F(2) = \ln(2) \) à l'aire de deux rectangles bien choisis pour démontrer l'inégalité \( \frac{1}{2} \le \ln(2) \le 1 \). C'est une excellente illustration de l'interprétation géométrique de l'intégrale.
En résumé, ce sujet de maths sur l'intégration est un excellent outil de révision pour les élèves de Terminale en Maths Complémentaires. Il vérifie à la fois les compétences techniques de calcul de primitives et d'intégrales, et la compréhension profonde des concepts sous-jacents comme l'aire et le lien entre dérivation et intégration.