Contrôle corrigé de Maths Expertes : Nombres Complexes et Arithmétique (Sujet 2)

Ce sujet de contrôle pour le niveau Terminale, spécialité Mathématiques Expertes, est une excellente ressource pour s'entraîner sur deux chapitres fondamentaux : les nombres complexes sous leur forme algébrique et l'arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs. D'une durée d'une heure, ce devoir évalue des compétences clés telles que la manipulation algébrique des complexes, la résolution d'équations polynomiales de degrés variés et l'application des propriétés de la divisibilité. Découvrez une analyse détaillée de chaque exercice pour consolider vos connaissances.

Mots-clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale, Maths Expertes, Nombres Complexes, Arithmétique, équations polynomiales, divisibilité, exercice corrigé.

Exercice 1 : Manipulation de la Forme Algébrique (2 points)

Cet exercice d'introduction se concentre sur les puissances d'un nombre complexe donné sous sa forme algébrique.

• Question 1 : On nous donne \(z_0 = \sqrt{3} + i\) et il faut prouver que \(z_0^3\) est un imaginaire pur. Pour ce faire, on développe l'expression en utilisant la formule du binôme de Newton ou par multiplications successives :
  \(z_0^3 = (\sqrt{3} + i)^3 = (\sqrt{3})^3 + 3(\sqrt{3})^2i + 3\sqrt{3}i^2 + i^3 = 3\sqrt{3} + 9i - 3\sqrt{3} - i = 8i\).
  La partie réelle de \(z_0^3\) est nulle, donc \(z_0^3\) est bien un imaginaire pur.
• Question 2 : Il faut en déduire la forme algébrique de \(z_0^9\). L'astuce consiste à utiliser le résultat précédent. On a \(z_0^9 = (z_0^3)^3\). Comme \(z_0^3 = 8i\), on calcule simplement \((8i)^3 = 8^3 \cdot i^3 = 512 \cdot (-i) = -512i\). La forme algébrique est donc \(0 - 512i\).

Exercice 2 : Résolution d'Équations dans ℂ (10 points)

Cet exercice substantiel est le cœur du sujet et teste la capacité à résoudre différents types d'équations dans l'ensemble des nombres complexes.

• Question 1.a : Équation linéaire. On doit résoudre \((1 + 3i)z - 1 = 7 + iz + z\). La méthode est similaire à celle dans \(\mathbb{R}\) : on isole l'inconnue \(z\).
  \((1 + 3i)z - iz - z = 7 + 1 \implies z(1 + 3i - i - 1) = 8 \implies z(2i) = 8\).
  On obtient \(z = \frac{8}{2i} = \frac{4}{i}\). Pour obtenir la forme algébrique, on multiplie par le conjugué du dénominateur : \(z = \frac{4(-i)}{i(-i)} = \frac{-4i}{-i^2} = -4i\).
• Question 1.b : Équation bicarrée. L'équation est \(z^4 + z^2 - 6 = 0\). On effectue un changement de variable en posant \(X = z^2\). L'équation devient une équation du second degré : \(X^2 + X - 6 = 0\). On calcule le discriminant \(\Delta = 1^2 - 4(1)(-6) = 25\). Les solutions pour \(X\) sont \(X_1 = \frac{-1-5}{2} = -3\) et \(X_2 = \frac{-1+5}{2} = 2\). On résout ensuite les deux équations pour \(z\) :
  - \(z^2 = 2 \implies z = \sqrt{2}\) ou \(z = -\sqrt{2}\).
  - \(z^2 = -3 \implies z = i\sqrt{3}\) ou \(z = -i\sqrt{3}\).
  L'équation a donc quatre solutions.
• Question 1.c : Équation du troisième degré. On résout \(8z^3 + 27 = 0\). On reconnaît la somme de deux cubes \(a^3+b^3\) avec \(a = 2z\) et \(b=3\). La factorisation \((2z+3)(4z^2 - 6z + 9) = 0\) donne une équation produit-nul :
  - Soit \(2z+3=0 \implies z = -3/2\).
  - Soit \(4z^2 - 6z + 9 = 0\). On calcule \(\Delta = (-6)^2 - 4(4)(9) = -108\). Les solutions sont complexes conjuguées : \(z = \frac{6 \pm i\sqrt{108}}{8} = \frac{3 \pm 3i\sqrt{3}}{4}\).
• Question 2 : Étude d'un polynôme de degré 3. On s'intéresse à \(P(z) = z^3 + z^2 + 4\).
  - a. Pour prouver que -2 est une racine, on calcule \(P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 + 4 = -8 + 4 + 4 = 0\).
  - b. On peut factoriser \(P(z)\) par \((z+2)\). Par identification des coefficients, on trouve \(P(z) = (z+2)(z^2-z+2)\).
  - c. Pour résoudre \(P(z)=0\), on utilise la forme factorisée. Les solutions sont \(z=-2\) et les solutions de \(z^2-z+2=0\). Pour cette dernière, \(\Delta = -7\), les solutions sont \(z = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}\).

Exercice 3 : Factorisation dans ℂ (3 points)

Cet exercice porte sur la factorisation complète d'un polynôme dans \(\mathbb{C}\).

• Question 1 : On factorise \(Q(u) = u^4 - 4\) en utilisant l'identité remarquable \(a^2-b^2\) deux fois.
  \(Q(u) = (u^2)^2 - 2^2 = (u^2 - 2)(u^2 + 2) = (u - \sqrt{2})(u + \sqrt{2})(u - i\sqrt{2})(u + i\sqrt{2})\).
• Question 2 : Les solutions de l'équation \(Q(u)=0\) sont les racines des facteurs, soit \(\{\sqrt{2}, -\sqrt{2}, i\sqrt{2}, -i\sqrt{2}\}\).

Exercice 4 : Arithmétique dans ℤ (5 points)

La dernière partie aborde des notions de divisibilité et la résolution d'une équation diophantienne simple.

• Question 1 : La liste des diviseurs de 10 dans \(\mathbb{Z}\) est \(\{\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\}\).
• Question 2 : On cherche les entiers \(n\) tels que \(2n+1\) divise \(4n+7\). Si \(2n+1 | 4n+7\) et \(2n+1 | 2(2n+1) = 4n+2\), alors \(2n+1\) doit diviser leur différence : \((4n+7) - (4n+2) = 5\).
  Ainsi, \(2n+1\) doit être un diviseur de 5. On teste les cas \(\{-5, -1, 1, 5\}\) et on trouve \(n \in \{-3, -1, 0, 2\}\).
• Question 3 : On cherche les couples d'entiers naturels \((x,y)\) tels que \(xy = 11+3y\). On factorise : \(xy - 3y = 11 \implies y(x-3) = 11\).
  Puisque 11 est premier et \(x, y \in \mathbb{N}\), les seules possibilités sont \(y=1, x-3=11\) ou \(y=11, x-3=1\). On trouve les couples \((14, 1)\) et \((4, 11)\).