10. Trouver x et y tels que z soit un imaginaire pur

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir la deuxième compétence sur comment déterminer si un nombre est un réel pur ou un imaginaire pur. On va faire le cas des imaginaires purs. Comme on l'a expliqué dans la vidéo précédente, vous avez un nombre \(Z'\) qui est créé en utilisant comme base un nombre \(Z\) qu'on va conjuguer et diviser par un moins son conjugué. De la même manière qu'on aurait pu transformer un nombre \(x\) en \(f(x)\), on va transformer un nombre \(Z\) en un nombre \(Z'\) en utilisant la formule qui est là.

Problème

On vous dit : "Je veux que ce nombre là soit un imaginaire pur". Autrement dit, je veux que ce nombre là soit capable de s'écrire sous la forme \(a + ib\), où \(a\) vaut zéro. En effet, si c'est un imaginaire pur, ça veut dire que sa partie réelle vaut zéro. De la même manière, si c'est un réel, ça veut dire que sa partie imaginaire vaut zéro.

Solution

Problème, il va d'abord falloir écrire ce nombre \(Z'\) sous forme de \(a + ib\). Et en l'état, avec un \(Z\) comme ça, je ne peux pas le faire. Donc ce que je vais faire, c'est dire : "Mon \(Z\), tout ce que je sais, c'est que c'est un nombre complexe donc il s'écrit \(x + iy\), il a une forme algébrique". Et je vais modifier \(Z'\) en utilisant ça pour arriver à écrire \(Z'\) comme \(a + ib\). Donc mon \(Z'\) vaut \(\frac{\overline{Z}}{1 - \overline{Z}}\), donc il vaut \(\frac{x - iy}{1 - (x - iy)}\). Je trie un peu le bas, le haut, je n'y touche pas. J'obtiens \(\frac{x - iy}{1 - x + iy}\). Maintenant, regardez en bas, j'ai une partie réelle plus \(i\) une partie imaginaire. Or, je vais arriver à mettre l'ensemble sous forme algébrique, donc il va falloir que je me débarrasse de ce \(i\) qui me gêne en bas. Et pour faire ça, je vais juste multiplier le haut et le bas par la forme conjuguée du dénominateur, donc \((1 - x - iy)\). De cette manière, en bas, j'ai une forme \(A + B\) fois \(A - B\), avec \(A = 1 - x\) et \(B = iy\). Donc je sais déjà que mon dénominateur va être de la forme \(A^2 - B^2\), donc en bas je peux recopier \((1 - x)^2 + y^2\). En haut, je vais attaquer directement mon développement. Donc, j'obtiens \(x - x^2 - ixy + y^2\). Maintenant, je vais arranger un peu le haut pour que ça soit une forme \(a + ib\). Donc il faut que je trie ce qui est réel et ce qui n'est pas réel. Ce qui est réel, j'ai \(x\), \(-x^2\) et \(y^2\), donc je vais commencer par écrire \(x - x^2 + y^2\). Et en partie imaginaire, j'ai juste \(-xy\). Donc, j'obtiens \(\frac{x - x^2 + y^2 - ixy}{(1 - x)^2 + y^2}\). Maintenant, ce que je vais faire, c'est que je vais séparer cette expression à ce niveau-là pour avoir une belle forme algébrique. Donc je vais avoir \(\frac{x - x^2 + y^2}{(1 - x)^2 + y^2} - i\frac{xy}{(1 - x)^2 + y^2}\). Maintenant, on réfléchit. Cet objet que j'ai là, on est d'accord que c'est toujours \(Z'\). Je suis parti de \(Z'\) égal à quelque chose, donc j'arrive à quelque chose de \(Z'\) où il n'y a pas de \(i\), donc ça c'est la partie réelle de \(Z'\). Et ce bout là, de la même manière, c'est la partie imaginaire de \(Z'\). Sauf que dans mon énoncé, on me demande quels sont les valeurs de \(Z\) telles que \(Z'\) soit un imaginaire pur. Si \(Z'\) est un imaginaire pur, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que forcément sa partie réelle vaut 0. Finalement, j'ai \(\frac{x - x^2 + y^2}{(1 - x)^2 + y^2} = 0\). Quand un quotient vaut 0, c'est forcément le numérateur qui vaut 0. Donc j'ai forcément \(x - x^2 + y^2 = 0\). Donc, quand on me demande quels sont les nombres \(Z\) tels que \(Z'\) soit un imaginaire pur, ce sont les nombres \(Z\) qui sont composés d'un \(x\) et d'un \(y\) tels que \(x - x^2 + y^2 = 0\). En réalité, on arrive à un truc un peu touchy, c'est que ça, c'est l'équation d'un cercle. Donc en fait, l'ensemble des points \(Z\) tels que \(Z'\) soit un imaginaire pur, c'est un cercle dans le plan complexe. Mais ne mettons pas la charrue avant les bœufs. Apprenez d'abord à faire ça et ensuite on passera au chapitre suivant. On vous a mis plein d'exercices en dessous, ça, ça tombe au contrôle. C'est les trois derniers points pour ceux qui veulent avoir une bonne note. À vous de jouer, vous êtes des champions.