8. Les équations de complexes du second degré à solutions complexes

Introduction

Allez les amis, on est parti pour rentrer dans le dur et voir comment est-ce qu'on fait pour régler ce genre d'équation du second degré. C'est-à-dire des équations du second degré où, quand vous allez calculer le delta, le delta sera négatif. Donc dans \(\mathbb{R}\), il n'y aura pas de solution, mais quelque chose me dit que peut-être que dans \(\mathbb{C}\) ça sera le cas. On se fait ça tout de suite.

Résolution d'une équation du second degré

Alors, pour résoudre une équation du style \(Z^2 + Z + 1 = 0\), on va procéder exactement de la même manière que si ça avait été \(x^2 + x + 1 = 0\). Pour faire ça, on va identifier la valeur de \(a\), la valeur de \(b\) et la valeur de \(c\). Donc mon \(a\) c'est ce qui est devant le \(x^2\), c'est 1. Mon \(b\), ce qui est devant le \(x\), c'est 1 et mon \(c\) c'est 1. Vous savez que pour résoudre une équation du second degré, on calcule le discriminant \(\Delta\) qui vaut \(b^2 - 4ac\). Donc \(1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3\). Là, avec les nombres complexes, vous vous arrêtez parce que vos solutions c'était \(b \pm \sqrt{\Delta} / 2a\). Or, trouver la \(\sqrt{-3}\) dans \(\mathbb{R}\) c'est pas possible. Il n'y a aucun nombre qui, quand je vais le mettre au carré, va me donner -3.

Les nombres complexes

Oui, sauf que dans \(\mathbb{C}\), les choses sont un peu plus compliquées. Pourquoi ? Parce que si je prends \(\sqrt{3}\) et que je le mets au carré, ça me fait 3. Donc \(\sqrt{3}\) c'est une \(\sqrt{3}\) comme son nom l'indique. Et regardez ce qui se passe maintenant si je mets un petit \(i\) là. Si je mets un petit \(i\) là, je me retrouve avec une racine de 3 qui va faire 3, un \(i\) qui, mis au carré, va faire -1 et je retrouve avec -3. Donc ce truc là, on peut le trouver dans \(\mathbb{C}\). Donc en réalité, dans \(\mathbb{C}\), et comme c'est indiqué dans l'affiche qu'on vous a fait sur la rubrique sur les équations, il y a des solutions même quand le discriminant est négatif. Ces solutions, c'est \(X_1 = b - i\sqrt{3} / 2a\) et \(X_2 = b + i\sqrt{3} / 2a\). On retrouve avec deux solutions qui sont \(-1 - i\sqrt{3}/2\) et \(-1 + i\sqrt{3}/2\). Donc on est capable de résoudre ces équations du second degré dans \(\mathbb{C}\) cette fois-ci en utilisant le nombre \(i\). On remarquera que ces deux solutions ont comme point commun le -1, le \(i\sqrt{3}\) et le 2, et que la seule différence c'est que là j'ai un moins et là j'ai un plus. Vous l'aurez compris, on dit que ces deux solutions sont conjuguées. En fait, les deux solutions d'une équation du second degré à solution complexe sont des solutions conjuguées parce que pour passer de l'une à l'autre, j'ai juste à la conjuguer, c'est-à-dire inverser le signe de la partie imaginaire. On vous a mis plein d'exercices en dessous, des exercices très intéressants. Vous avez des polynômes de degré 2 mais aussi des exercices où vous avez des polynômes de degré 3 où on vous fait faire une factorisation. Allez vous entraîner, vous êtes des champions.