Analyse du sujet de Mathématiques Expertes - Nombres Complexes
Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale Spécialité Maths Expertes se concentre sur le premier chapitre des nombres complexes, et plus particulièrement sur la forme algébrique. D'une durée d'une heure, il est composé de trois exercices de difficulté croissante qui balayent des compétences fondamentales : la manipulation algébrique, la résolution d'équations polynomiales dans \(\mathbb{C}\), et la démonstration par récurrence d'une formule majeure, le binôme de Newton. Ce sujet est un excellent entraînement pour maîtriser les bases avant d'aborder les formes trigonométriques et exponentielles.
Retrouvez l'analyse détaillée de ce sujet, exercice par exercice, pour comprendre les attendus et les méthodes de résolution.
Exercice 1 : Manipulation de la forme algébrique (4 points)
Cet exercice est une introduction classique à la manipulation des nombres complexes sous leur forme algébrique \(z = a + ib\). L'objectif est de trouver les conditions sur \(z\) pour que le nombre complexe \(Z_1 = (2z - i) + (3iz - 4)\) soit soit réel, soit imaginaire pur.
- Question 1 : Condition pour que \(Z_1\) soit réel
On nous impose ici que \(z\) est un nombre réel, donc \(z = a\) avec \(a \in \mathbb{R}\). La première étape est de substituer \(z\) par \(a\) dans l'expression de \(Z_1\) :
\(Z_1 = (2a - i) + (3ia - 4)\).
Ensuite, il faut regrouper les termes pour faire apparaître clairement la partie réelle et la partie imaginaire :
\(Z_1 = (2a - 4) + i(3a - 1)\).
Pour que \(Z_1\) soit un nombre réel, sa partie imaginaire doit être nulle. Il faut donc résoudre l'équation :
\(Im(Z_1) = 0 \Leftrightarrow 3a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\).
La compétence clé est de savoir identifier et annuler la partie imaginaire d'un nombre complexe.
- Question 2 : Condition pour que \(Z_1\) soit imaginaire pur
Dans cette question, \(z\) est un nombre complexe quelconque, que l'on écrit sous sa forme algébrique \(z = a + ib\). On substitue cette expression dans \(Z_1\) :
\(Z_1 = (2(a+ib) - i) + (3i(a+ib) - 4)\).
On développe ensuite l'expression, en se souvenant que \(i^2 = -1\) :
\(Z_1 = 2a + 2ib - i + 3ia + 3i^2b - 4 = 2a + 2ib - i + 3ia - 3b - 4\).
On regroupe à nouveau les parties réelles et imaginaires :
\(Z_1 = (2a - 3b - 4) + i(2b - 1 + 3a)\).
Pour que \(Z_1\) soit un imaginaire pur, sa partie réelle doit être nulle. On doit donc résoudre :
\(Re(Z_1) = 0 \Leftrightarrow 2a - 3b - 4 = 0\).
Cette équation donne une relation entre \(a\) et \(b\). L'ensemble des points M d'affixe \(z\) solutions est une droite dans le plan complexe.
Exercice 2 : Équation polynomiale dans \(\mathbb{C}\) (5 points)
Cet exercice aborde la résolution d'une équation du troisième degré dans l'ensemble des nombres complexes. La méthode proposée est classique : trouver une racine "évidente", factoriser le polynôme, puis résoudre l'équation du second degré restante.
- Question 1 : Vérification d'une racine
On doit vérifier que \(-1\) est solution de l'équation \(z^3 - 5z^2 + 7z + 13 = 0\). Il suffit de remplacer \(z\) par \(-1\) dans le polynôme \(P(z)\) :
\(P(-1) = (-1)^3 - 5(-1)^2 + 7(-1) + 13 = -1 - 5(1) - 7 + 13 = -1 - 5 - 7 + 13 = 0\).
Comme \(P(-1) = 0\), \(-1\) est bien une racine du polynôme.
- Question 2 : Factorisation du polynôme
Puisque \(-1\) est une racine, on sait que le polynôme \(P(z)\) peut être factorisé par \((z - (-1))\), c'est-à-dire par \((z+1)\). On cherche donc un polynôme du second degré \(Q(z) = az^2 + bz + c\) tel que :
\(P(z) = (z+1)(az^2 + bz + c)\).
En développant le membre de droite et en identifiant les coefficients avec ceux de \(P(z)\), on trouve \(a=1, b=-6, c=13\). Ainsi :
\(P(z) = (z+1)(z^2 - 6z + 13)\).
- Question 3 : Résolution complète de l'équation
L'équation \(P(z) = 0\) est équivalente à \((z+1)(z^2 - 6z + 13) = 0\). Les solutions sont donc \(z = -1\) ou les solutions de l'équation du second degré \(z^2 - 6z + 13 = 0\).
On calcule le discriminant \(\Delta\) :
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(13) = 36 - 52 = -16\).
Le discriminant est négatif, l'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées. On a \(\Delta = (4i)^2\).
Les solutions sont :
\(z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i\)
\(z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{6 + 4i}{2} = 3 + 2i\)
L'ensemble des solutions de l'équation initiale est donc \(S = \{-1, 3 - 2i, 3 + 2i\}\).
Exercice 3 : Démonstration par récurrence du binôme de Newton (11 points)
Cet exercice, plus théorique et exigeant, guide l'élève dans la démonstration par récurrence de la célèbre formule du binôme de Newton pour deux nombres complexes \(u\) et \(v\). Cette formule est centrale en algèbre et en analyse.
La proposition à démontrer est, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\(R_n : (u+v)^n = \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} u^{n-p}v^p\)
- Question 1 : Initialisation
Il faut vérifier que la proposition est vraie au rang \(n=0\).
D'une part, \((u+v)^0 = 1\).
D'autre part, \(\sum_{p=0}^{0} \binom{0}{p} u^{0-p}v^p = \binom{0}{0} u^0 v^0 = 1 \times 1 \times 1 = 1\).
La propriété \(R_0\) est donc bien vérifiée.
- Question 2 : Hérédité
C'est le cœur de la démonstration. On suppose que \(R_k\) est vraie pour un certain entier \(k \geq 0\) (hypothèse de récurrence) et on doit prouver que \(R_{k+1}\) est vraie. Les sous-questions guident le raisonnement :
a. On part de \((u+v)^{k+1} = (u+v)(u+v)^k\). En utilisant l'hypothèse de récurrence, on remplace \((u+v)^k\) par la somme, puis on distribue \(u\) et \(v\).
b. On se retrouve avec deux sommes. L'étape suivante consiste à effectuer un changement d'indice dans la seconde somme pour pouvoir les regrouper.
c. et d. En isolant les termes extrêmes et en regroupant les sommes, on fait apparaître la somme des coefficients binomiaux \(\binom{k}{p} + \binom{k}{p-1}\). En utilisant la formule du triangle de Pascal, cette somme est égale à \(\binom{k+1}{p}\). On obtient alors l'expression attendue pour \((u+v)^{k+1}\), ce qui prouve que \(R_{k+1}\) est vraie.
- Question 3 : Conclusion
L'initialisation et l'hérédité ayant été démontrées, on conclut, par le principe du raisonnement par récurrence, que la formule du binôme de Newton est vraie pour tout entier naturel \(n\).
Ce sujet de maths corrigé est un excellent outil de révision sur la partie algébrique des nombres complexes, alliant calculs techniques et raisonnement rigoureux. Il prépare efficacement aux exigences du baccalauréat en Maths Expertes.