19. Changement de variable polynômes de degré 4 (Bicarrés)

Introduction

Aujourd'hui, nous allons aborder une technique qui vous permet de résoudre des polynômes de degré 4. Par exemple, nous allons résoudre l'équation \(x^4 - 2x^2 + 8 = 0\). Je vous rappelle que vous savez déjà résoudre des polynômes de degré 2. Alors, que fait-on quand on a un polynôme de degré 4 ? Vous allez voir que cette astuce fonctionne aussi pour pas mal d'exemples.

Changement de variable

La première chose à faire est un changement de variable. Une fois ce changement effectué, on obtient une autre équation qui est beaucoup plus simple à résoudre. On la résout et une fois résolue, on défait le changement de variable. Pour ce faire, on va inventer une nouvelle variable. Ici, on va poser \(X = x^2\). Pourquoi fait-on cela ? Parce que du coup, notre équation devient \(X^2 - 2X + 8 = 0\). Vous voyez, on a transformé cette équation de degré 4 en une équation de degré 2, que vous savez résoudre.

Résolution de l'équation

Comment résout-on cette équation ? On commence par calculer le déterminant \(\Delta\) qui vaut \(b^2 - 4ac\), donc \((-2)^2 - 4 \times 1 \times 8\), soit \(4 - 32 = -28\). Puisque \(\Delta\) est négatif, notre équation n'a pas de solution réelle.

Retour à la variable initiale

Maintenant, on va défaire notre changement de variable. Je vous rappelle que \(X = x^2\). Donc, si on a \(X_1 = 4\) et \(X_2 = -2\), cela signifie, en défaisant le changement de variable, que \(x^2 = 4\) ou \(x^2 = -2\). On a commencé par remplacer \(x^2\) par \(X\), et maintenant on va remplacer \(X\) par \(x^2\). On fait un changement de variable et on le défait. Vous remarquez que nous avons des équations de degré 2 qui sont beaucoup plus faciles à résoudre. Pour que \(x^2\) soit égal à 4, cela signifie simplement que \(x = 2\) ou \(x = -2\). Pour que \(x^2\) soit égal à -2, il n'y a évidemment pas de solution, car vous n'aurez jamais un nombre au carré qui soit négatif. Donc, les solutions de ce système sont \(x = 2\) ou \(x = -2\).

Conclusion

Voilà, c'est à vous de jouer maintenant. Nous avons mis quelques exercices en dessous. Nous verrons plus tard un autre changement de variables qui est aussi simple à gérer.