Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale Expertes est entièrement dédié au premier chapitre sur les nombres complexes, et plus particulièrement à leur forme algébrique. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il évalue la maîtrise des techniques de base de résolution d'équations et de manipulation des propriétés du conjugué. Ce document est une excellente ressource pour s'entraîner et valider ses acquis.
Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque exercice, en mettant l'accent sur la méthode et la rigueur de la rédaction. Les compétences ciblées incluent la résolution d'équations polynomiales, la manipulation du conjugué et la détermination de lieux géométriques.
Exercice 1 : Équation du second degré à coefficients réels
Le premier exercice aborde un grand classique : la résolution dans \( \mathbb{C} \) d'une équation du second degré dont les coefficients dépendent d'un paramètre réel. L'équation à résoudre est :
\[ z^2 - 2 \cos(\theta) z + 1 = 0 \quad \text{avec} \quad \theta \in ]-\pi; \pi] \]
La méthode consiste à calculer le discriminant \( \Delta \). On montre que \( \Delta = (2i \sin(\theta))^2 \), ce qui prouve que le discriminant est négatif (sauf cas particuliers). Les solutions sont alors complexes et conjuguées. Cet exercice teste la capacité à mener des calculs avec des expressions trigonométriques et à appliquer la formule de résolution des équations du second degré dans \( \mathbb{C} \).
Exercice 2 : Propriétés du conjugué et équation du troisième degré
Cet exercice en deux parties permet de travailler en profondeur les propriétés du nombre conjugué.
- Question 1 : Il s'agit de démontrer par récurrence la propriété fondamentale \( \overline{z^n} = (\overline{z})^n \) pour tout nombre complexe \( z \) et tout entier naturel \( n \). C'est un exercice de démonstration qui exige rigueur et connaissance du raisonnement par récurrence.
- Question 2 : On s'intéresse à l'équation polynomiale de degré 3 : \( z^3 - z^2 + z - 1 = 0 \).
- On démontre d'abord une propriété générale des polynômes à coefficients réels : si \( z_0 \) est une racine, alors son conjugué \( \overline{z_0} \) est aussi une racine.
- Ensuite, on vérifie que le nombre \( i \) est une solution de l'équation. En appliquant la propriété précédente, on en déduit immédiatement que \( -i \) est également une solution. L'équation ayant une troisième racine (réelle), on peut la trouver en factorisant le polynôme par \( (z-i)(z+i) = z^2+1 \).
Exercice 3 : Résolution d'équations complexes variées
Cet exercice est un pot-pourri de plusieurs types d'équations complexes qu'il faut savoir identifier et résoudre.
- Équation linéaire : On résout l'équation \( 4iz + 2i = 1 - z + i \). La technique consiste à isoler l'inconnue \( z \), ce qui amène à un quotient de deux nombres complexes. Pour obtenir la forme algébrique \( a+ib \) de la solution, l'utilisation de l'expression conjuguée du dénominateur est indispensable.
- Équation avec conjugué : L'équation \( z \overline{z} = z + 2 \) fait intervenir \( z \) et son conjugué. La méthode la plus efficace est de poser \( z = x + iy \), de remplacer dans l'équation et d'utiliser que \( z \overline{z} = x^2+y^2 \). On sépare ensuite la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues \( x \) et \( y \).
- Équation plus complexe : La dernière équation, \( \frac{\overline{z}}{i-1} - i = \frac{z}{1+i} + i \), demande une manipulation algébrique plus poussée. Après avoir regroupé les termes en \( z \) et \( \overline{z} \), on peut à nouveau poser \( z=x+iy \) pour résoudre le système. Une analyse attentive révèle que cette équation n'admet aucune solution.
Exercice 4 : Lieu géométrique et nombres réels
Le dernier exercice introduit une fonction complexe \( Z = \frac{3z+1}{z-2} \) et demande de trouver l'ensemble des points d'affixe \( z \) pour lesquels \( Z \) est un nombre réel.
- La première question est une démonstration de cours : prouver qu'un nombre complexe \( Z \) est réel si et seulement s'il est égal à son propre conjugué (\( Z = \overline{Z} \)).
- La seconde question consiste à appliquer cette propriété. On pose \( \frac{3z+1}{z-2} = \overline{\left(\frac{3z+1}{z-2}\right)} \), ce qui, après simplification et utilisation des propriétés du conjugué, mène à la condition \( z = \overline{z} \). On en conclut que \( z \) doit être un nombre réel. En n'oubliant pas la condition initiale \( z \neq 2 \), l'ensemble solution est l'axe des réels privé du point d'affixe 2.
En conclusion, ce sujet de maths sur les nombres complexes est très complet pour un format d'une heure. Il balaye les compétences essentielles de la partie algébrique du chapitre, préparant efficacement aux questions plus complexes qui mêleront algèbre et géométrie.