Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale, spécialité Maths Expertes. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, cette épreuve est entièrement consacrée au chapitre sur les nombres complexes, et plus spécifiquement à leur forme algébrique. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser les notions fondamentales telles que le conjugué, les opérations de base (addition, multiplication, division), la résolution d'équations du premier et second degré dans l'ensemble des complexes, ainsi que l'étude de polynômes. Ce type de sujet est classique et prépare efficacement aux exigences du baccalauréat.

Question de cours : Les bases du conjugué

Cette première partie, notée sur 2 points, vise à vérifier la maîtrise des définitions et propriétés fondamentales. Il est demandé de :

• Donner la définition formelle du conjugué \( \bar{z} \) d'un nombre complexe \( z = x + iy \).
• Démontrer une propriété essentielle : un nombre complexe est égal à son conjugué si et seulement si ce nombre est un réel (prouver que \( z = \bar{z} \Leftrightarrow z \in \mathbb{R} \)). Cette question teste la capacité à mener un raisonnement par double implication.

Exercice 1 : Maîtrise des opérations algébriques

Noté sur 5 points, cet exercice est un enchaînement de calculs techniques pour évaluer l'aisance avec les différentes opérations sur les nombres complexes sous leur forme algébrique. On travaille avec les nombres \( z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \), \( z_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i \) et \( z_3 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \).

• 1) Calcul de \( z_k \bar{z_k} \) : Il s'agit de montrer que ce produit vaut 1 pour chaque \( z_k \). Cela revient à calculer le carré du module \( |z_k|^2 \) et à montrer que ces points appartiennent au cercle trigonométrique.
• 2) Produit \( z_1 z_2 \) : Un calcul direct de multiplication de deux nombres complexes.
• 3) Produit \( z_2 z_3 \) : Un autre calcul de produit pour confirmer la maîtrise de la distributivité et de la règle \( i^2 = -1 \).
• 4) Quotient \( \frac{z_2 z_3}{z_1} \) : Cette question teste la méthode de division de nombres complexes, qui implique de multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour obtenir un dénominateur réel.
• 5) Puissance \( z_3^3 \) : Il faut calculer le cube de \( z_3 \), ce qui demande de la rigueur dans les calculs pour montrer que le résultat est -1.

Exercice 2 : Résolution d'équations dans \( \mathbb{C} \)

Cet exercice de 4 points est centré sur la résolution d'équations où l'inconnue \( z \) est un nombre complexe. La difficulté est progressive.

• 1) Équation linéaire simple : L'équation \( 2 - i + iz = -3iz + 2z + \frac{2}{3} \) se résout en isolant \( z \) comme on le ferait dans \( \mathbb{R} \), en manipulant les termes complexes.
• 2) et 3) Équations avec conjugué : Les équations comme \( 4z + i\bar{z} - 3 = 2i\bar{z} + 1 \) font intervenir à la fois \( z \) et \( \bar{z} \). La méthode classique consiste à poser \( z = x + iy \), à substituer dans l'équation, puis à séparer la partie réelle et la partie imaginaire. On obtient alors un système de deux équations à deux inconnues réelles (\( x \) et \( y \)) qu'il faut résoudre.

Exercice 3 : Équations du second degré

Sur 3 points, cet exercice aborde un point clé du programme de Maths Expertes : la résolution des équations du second degré à coefficients réels dans \( \mathbb{C} \). Il faut trouver les solutions des équations suivantes et préciser leur partie réelle et imaginaire :

1. \( z^2 - 3z + 1 = 2z - 2 \), qui se ramène à \( z^2 - 5z + 3 = 0 \).
2. \( -3z^2 + z - \frac{17}{3} = 1 \), qui se ramène à \( -3z^2 + z - \frac{20}{3} = 0 \).

La méthode implique le calcul du discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \). Si \( \Delta < 0 \), les solutions sont deux nombres complexes conjugués de la forme \( z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \).

Exercice 4 : Problème de synthèse sur les polynômes

Ce dernier exercice, plus long et noté sur 6 points, est un problème complet qui fait la synthèse des connaissances sur les polynômes et les nombres complexes. On étudie le polynôme \( P(z) = z^4 - 3z^3 + 5z^2 - 4z + 2 \).

• 1) Racines conjuguées : Démontrer que si un nombre complexe \( z_0 \) est une racine d'un polynôme à coefficients réels, alors son conjugué \( \bar{z_0} \) est aussi une racine. C'est une propriété fondamentale à connaître.
• 2) et 3) Recherche d'une racine : On guide l'élève en lui faisant calculer les puissances de \( 1+i \) pour ensuite montrer que \( P(1+i) = 0 \).
• 4) Déduction d'une autre racine : En appliquant la propriété de la première question, on déduit immédiatement que \( P(1-i) = 0 \) sans calcul supplémentaire.
• 5) et 6) Factorisation du polynôme : Connaissant deux racines, on peut factoriser \( P(z) \) par le produit \( (z - (1+i))(z - (1-i)) \), qui est le polynôme à coefficients réels \( z^2 - 2z + 2 \). Il faut ensuite trouver le polynôme \( Q(z) \) de degré 2 tel que \( P(z) = (z^2 - 2z + 2)Q(z) \), par identification des coefficients ou par division polynomiale.
• 7) Factorisation complète : Pour finir, on résout l'équation \( Q(z)=0 \) pour trouver les deux dernières racines de \( P(z) \) et ainsi obtenir sa factorisation complète en produit de polynômes de degré 1.

Ce sujet de maths corrigé est un excellent moyen de se préparer et de valider ses acquis sur la partie algébrique des nombres complexes en Terminale Expertes.