6. Les équations linéaires de complexes

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment gérer le premier type d'équations complexes, celles qui sont douces, extrêmement faciles à faire : les équations complexes linéaires, c'est-à-dire celles qui ne font intervenir ni \( \bar{Z} \) ni carré. On se fait ça tout de suite.

Typologie des équations complexes

On vous a fait une petite typologie sur notre fiche de toutes les équations et là on va s'attaquer au premier type d'équation : les équations linéaires, celles qui sont les plus faciles à faire. Vous avez vu, on a mis un petit système de notation avec des \( g \) en fonction de si c'est compliqué ou pas, on fait des trucs stylés graphiquement.

Résolution d'équations complexes linéaires

Du coup, comment est-ce qu'on va résoudre la première équation qui est \( 3Z + i = - 2 \)? C'est un complexe égal à - 2. Si je vous demandais de résoudre \( 3x + 1 = - 2 \), ça vous poserait strictement aucun problème. Le 1 je le passe de l'autre côté, ça fait \( 3x = - 3 \) et ensuite je divise par 3, \( x = - 3/ 3 = - 1 \). Avec les complexes, c'est exactement la même chose. Quand j'ai \( 3Z + i = - 2 \), j'ai ce \( i \) et ce 3 qui m'embête. Je vais commencer par passer le \( i \) de l'autre côté donc mon \( 3Z \) il vaudra \( - 2 - i \) et ensuite je vais passer mon \( 3Z = - 2 - i \) sur 3 et c'est littéralement aussi simple que ça. J'isole mon \( Z \), je l'exprime en fonction de \( - 2 - i \) et 3. Si je suis un peu un faillot, je peux le mettre sous forme algébrique en faisant \( - 2/ 3 - i/ 3 \). Là où ça se complique légèrement, c'est peut-être le cas de la deuxième équation qui peut être un peu embêtante où vous avez par exemple \( i - 5/ 2Z + 1 = 3 \). Il y a deux manières de faire. Le problème c'est que votre inconnue, votre \( Z \), il est en bas. Je vous propose un truc tout simple, je vous propose de revenir à vos petits souvenirs de secondes et dire que 3 c'est \( 3/ 1 \) et c'est le moment où on peut faire notre fameux produit en croix qui consiste à dire que ça fois ça égale ça fois ça. Ça nous permettra de tout avoir sur une ligne donc je vais avoir \( i - 5 \times 1 = 3 \times (2Z + 1) \). Ça fait juste \( i - 5 = 6Z + 3 \) et là je me ramène exactement dans le cas d'avant. J'ai une équation linéaire avec du \( i \), je passe mon 3 de l'autre côté, ça me fait \( i - 8 = 6Z \) et donc \( Z = (i - 8)/ 6 \). Il ne faut pas que vous vous laissiez impressionner par ce genre de choses. Ça tombe bien, on vous a mis une tripotée d'exercices avec la fiche qui va bien sur galilé.ac. À vous de jouer, vous êtes des champions.