Analyse du Contrôle de Mathématiques sur la Dérivation en Première

Ce sujet de mathématiques de niveau Première, spécialité maths, est une évaluation complète sur le chapitre des applications de la dérivation. D'une durée d'une heure, il balaye les compétences essentielles liées au calcul de dérivées, à l'étude de fonctions, à la détermination d'équations de tangentes et à la résolution de problèmes d'optimisation. Ce contrôle corrigé est un excellent outil pour s'entraîner et valider ses connaissances.

Exercice 1 : Maîtrise des formules de dérivation

Cet exercice d'introduction vise à vérifier la connaissance et l'application des formules de dérivation de base. Il est demandé de calculer les fonctions dérivées de trois fonctions distinctes, couvrant les cas les plus courants :

• Fonction polynôme : Pour \( f(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 3x - 4 \), l'élève doit appliquer la formule de dérivation d'une puissance \( (x^n)' = nx^{n-1} \) et la linéarité de la dérivation.
• Fonction produit : La fonction \( g(x) = x^2(6x - 7) \) requiert l'utilisation de la formule de la dérivée d'un produit \( (uv)' = u'v + uv' \). Une alternative consiste à développer l'expression avant de dériver.
• Fonction quotient : Pour \( h(x) = \frac{2x - 4}{x^2 + 1} \), il est indispensable de maîtriser la formule de la dérivée d'un quotient \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction rationnelle

Cet exercice central propose une étude de fonction approfondie pour \( f(x) = \frac{10x - 20}{x^2 - 4x + 5} \). Les questions s'enchaînent logiquement pour construire une analyse complète :

1. Ensemble de définition : La première étape consiste à justifier que la fonction est définie sur \( \mathbb{R} \). Pour cela, il faut analyser le signe du dénominateur, un polynôme du second degré, en calculant son discriminant (\( \Delta \)) pour prouver qu'il ne s'annule jamais.
2. Étude des variations : C'est le cœur de l'exercice. Il faut calculer la dérivée \( f'(x) \), étudier son signe (ce qui revient souvent à étudier le signe du numérateur), puis dresser le tableau de variations complet de la fonction \( f \), en précisant les éventuels extremums.
3. Équation de la tangente : La dernière question demande de déterminer l'équation de la tangente à la courbe \( C_f \) au point d'abscisse 0. Cela nécessite d'appliquer la formule \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \) avec \( a=0 \).

Exercice 3 : Problème d'optimisation

Cet exercice concret met en application la dérivation pour résoudre un problème d'optimisation. L'objectif est de trouver les dimensions d'une boîte qui maximisent son volume.

• Modélisation : Il faut d'abord traduire l'énoncé en langage mathématique. Cela implique de déterminer l'intervalle dans lequel la variable \( x \) (le côté du carré découpé) peut varier, puis d'établir l'expression de la fonction volume \( v(x) = (25-2x)(15-2x)x = 4x^3 - 80x^2 + 375x \).
• Recherche de l'extremum : Pour trouver le volume maximal, on étudie les variations de la fonction \( v(x) \) sur son intervalle de définition. Cela passe par le calcul de la dérivée \( v'(x) \), la résolution de l'équation \( v'(x)=0 \) (une équation du second degré), et l'analyse du signe de la dérivée pour identifier le maximum.

Exercice 4 : Propriétés avancées des tangentes

Le dernier exercice porte sur une fonction cubique \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 1 \) et explore des propriétés spécifiques des tangentes.

• Dérivée et parallélisme : La première partie demande de trouver les points de la courbe où la tangente est parallèle à une droite donnée (\( y = -24x \)). La condition de parallélisme se traduit par l'égalité des coefficients directeurs, menant à l'équation \( f'(a) = -24 \).
• Tangentes passant par l'origine : La seconde partie, plus complexe, consiste à trouver les tangentes qui passent par l'origine du repère. Il faut d'abord démontrer que cette condition est équivalente à l'équation \( f(a) = a \times f'(a) \). La résolution de cette équation polynomiale de degré 3, facilitée par une factorisation suggérée, permet de trouver les abscisses des points de tangence recherchés.