Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde est centré sur les chapitres fondamentaux de l'étude de fonctions et des fonctions de référence. D'une durée d'une heure, ce devoir évalue la capacité des élèves à analyser des fonctions à travers différentes approches : graphique, algébrique et algorithmique. C'est un excellent support pour s'entraîner à la lecture et l'interprétation de courbes, à la détermination de la parité d'une fonction, et à la compréhension de petits programmes en Python. Ce contrôle corrigé est idéal pour réviser et valider ses acquis.

Exercice 1 : Analyse graphique d'une fonction (8 points)

Cet exercice constitue la partie la plus importante du contrôle et se base sur la lecture graphique d'une courbe représentative C d'une fonction f. Il teste un large éventail de compétences essentielles en analyse de fonction.

• Question 1 : Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f à partir de sa représentation graphique.
• Question 2 : Lire directement sur le graphique les images de nombres donnés, ici \(f(2)\) et \(f(-3)\).
• Question 3 : Trouver les antécédents d'un nombre par f, en l'occurrence, déterminer les valeurs de x pour lesquelles \(f(x) = 2\).
• Question 4 : Résoudre graphiquement une équation de la forme \(f(x) = k\), ici avec \(k=1\). Cela revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation \(y=1\).
• Question 5 : Résoudre graphiquement une inéquation, \(f(x) > 1,5\). Il s'agit d'identifier les intervalles sur lesquels la courbe de f est située strictement au-dessus de la droite d'équation \(y=1,5\).
• Question 6 : Une question d'analyse plus poussée demandant pour quelles valeurs du paramètre réel m, l'équation \(f(x) = m\) admet exactement trois solutions. C'est une application directe de la lecture graphique par balayage horizontal.
• Question 7 : Cette question combine la fonction f avec une fonction affine g définie par \(g(x) = 0,5x - 2,25\). Il faut d'abord tracer la droite représentant g, puis résoudre graphiquement l'inéquation \(f(x) \ge g(x)\), ce qui correspond à l'étude de la position relative des deux courbes.

Exercice 2 : Parité et symétrie (2 points)

Cet exercice se concentre sur la reconnaissance visuelle de la parité d'une fonction. Deux demi-graphiques sont fournis et il est demandé de les compléter pour obtenir :

• a. La courbe d'une fonction impaire, qui doit présenter une symétrie par rapport à l'origine du repère.
• b. La courbe d'une fonction paire, qui doit être symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Exercice 3 : Étude algébrique de la parité (3 points)

Après l'approche graphique, cet exercice aborde la parité par le calcul. Il faut étudier la parité de trois fonctions en utilisant la méthode algébrique (calculer \(f(-x)\) et comparer à \(f(x)\)) :

• 1) \(f(x) = 5x^2 + 4\) sur \(D = \mathbb{R}\)
• 2) \(f(x) = \frac{1}{2x} + x\) sur \(D = \mathbb{R}^*\)
• 3) \(f(x) = 4x^3 - 1\) sur \(D = \mathbb{R}\)

L'élève doit vérifier que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, puis effectuer le calcul pour conclure si la fonction est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre.

Exercice 4 : Construction et tableau de valeurs (4 points)

Cet exercice demande de manipuler une fonction polynôme du troisième degré, \(f(x) = x^3 - 2x^2 - x\), sur un intervalle donné \([-2; 4]\).

• Question 1 : Utiliser une calculatrice graphique pour représenter la courbe et choisir une fenêtre d'affichage adaptée (Xmin, Xmax, Ymin, Ymax).
• Question 2 : Calculer les images de plusieurs points de l'intervalle pour compléter un tableau de valeurs.
• Question 3 : Utiliser ce tableau pour tracer manuellement la courbe de la fonction dans un repère orthogonal, en respectant les unités imposées.

Exercice 5 : Algorithme en Python (3 points)

Ce dernier exercice fait le lien entre les mathématiques et l'informatique avec l'analyse d'une fonction écrite en langage Python.

La fonction est \(f(x) = \sqrt{3 + \frac{x}{3}}\).

• Question 1 : Connaître la syntaxe correcte pour appeler la fonction dans la console Python avec une valeur donnée.
• Question 2 : Exécuter "à la main" l'algorithme pour \(x=5\), en détaillant chaque étape du calcul des variables internes.
• Question 3 : Retrouver l'expression mathématique formelle de la fonction implémentée par le code.

Ce sujet de contrôle corrigé pour la Seconde est un excellent outil pour maîtriser les bases de l'étude de fonctions. Retrouvez d'autres sujets de maths et exercices corrigés sur notre site.