4. Construire un point à partir d'égalité de vecteurs

Introduction

Allez les amis, on est parti pour apprendre comment construire des points à partir d'une relation vectorielle. Autrement dit, on vous donne une figure, on vous donne des relations et on vous demande de construire les points qui manquent. On s'y met.

Construction des points à partir d'une relation vectorielle

Pour construire des points à partir d'une relation vectorielle, il y a deux cas. On va commencer par un cas simple et dans la deuxième partie de la vidéo, on va faire le cas qui est plus compliqué. C'est ce qu'ils tombent aux contrôles, mais il faut avoir compris avant, donc restez jusqu'au bout et regardez ce qui se passe. Nous, on veut construire le point \(D\) tel que le vecteur \(\overrightarrow{CD}\) soit égal au vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Donc, pour qu'on comprenne, je vais déjà faire apparaître le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) en bleu. Comment est-ce qu'on peut construire le vecteur \(\overrightarrow{CD}\) pour que quand je parte de \(C\), j'arrive à \(D\), j'ai fait le même chemin que quand je pars de \(A\) et que j'arrive à \(B\) ? Comment je peux construire le point \(D\) pour que j'ai le même chemin entre \(C\) et \(D\) ? C'est pas compliqué, on va prendre notre vecteur, on va le décaler ici, je remets mon \(A\), \(B\) est mon point \(D\), c'est le point qui sera au bout. Je vérifie, est-ce que ce vecteur là est égal à ce vecteur là ? Oui, ils ont bien la même longueur à peu près, je les fais un enlever, la même direction, ils sont tous les deux parallèles et le même sens, ils vont de la gauche vers la droite. J'ai construit mon point \(D\) tel que \(\overrightarrow{CD}\) soit égal à \(\overrightarrow{AB}\). Donc, j'ai juste à reporter mon vecteur ici, est à faire en fait une translation du point \(C\) par le vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

Construction des points dans un cas plus compliqué

Pourquoi c'est plus compliqué dans l'autre sens ? Parce que cette fois-ci, on veut construire le point \(E\) tels que \(\overrightarrow{EA}\) soit égal à \(\overrightarrow{AC}\). Bon, vecteur \(\overrightarrow{AC}\), je le fais apparaître en rouge, c'est celui là. Je veux que le vecteur \(\overrightarrow{EA}\) soit égal à \(\overrightarrow{AC}\). Autrement dit, quand je pars de \(E\) et que j'arrive à \(A\), je veux que ça soit égal au chemin que je fais de \(A\) quand je vais à \(C\). Je ne peux pas refaire la même technique, se dire que si je reprends mon vecteur \(\overrightarrow{AC}\) et que je le colle sur \(A\), j'arrive au point \(E\). C'est le problème, c'est que le point \(E\), si je le fais dans ce sens, ça sera pas la même chose que le point \(\overrightarrow{AC}\) fait dans ce sens. Donc, ça impose un problème de direction. Donc, quel est l'endroit d'où je peux partir dans ce tableau pour que quand j'arrive à \(A\), j'ai fait ce déplacement ? Prenons un endroit, si je me mets là, est-ce que quand je fais \(\overrightarrow{EA}\), autrement dit quand je fais ce chemin, est-ce que je fais ça ? Non. Si je me mets là, est-ce que ça c'est égal à ça ? Non. Oui, il ne reste qu'une seule solution. Cette solution, vous l'avez intuitivement, c'est de partir d'ici. Si je mets mon point \(E\) là, j'ai bien mon vecteur \(\overrightarrow{EA}\), c'est-à-dire ce déplacement qui est égal à ce déplacement. Donc, en fait, si vous voulez un moyen mnémotechnique de réussir à coup sûr, quand le point que vous cherchez est à la fin, vous prenez votre vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et vous le collez au point \(C\). Très bon, vecteur \(\overrightarrow{AB}\), je le colle au point \(C\), ça vous donne le résultat. Quand le point que je cherche, il est non pas à la fin mais au début, on va encore coller le vecteur \(\overrightarrow{AC}\), sauf qu'on va pas le coller avec le cul sur \(C\), on va le coller avec la tête sur le point qu'on recherche. Ça nous permet de trouver le vecteur. Ça commence à être un exercice difficile, on vous en a mis en dessous, il faut absolument que vous vous entraîniez à faire ça. C'est les premières questions des exercices de contrôle. Si vous n'avez pas réussi à faire ces questions, si vous n'arrivez pas à comprendre ce point, ça va être difficile pour vous de faire ce qu'on attend de vous par la suite. Entraînez-vous, vous allez arriver, c'est sûr, vous allez être champions. À vous de jouer.