Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde est entièrement dédié au chapitre sur les vecteurs. D'une durée d'une heure et sans calculatrice, il évalue en profondeur la maîtrise des concepts fondamentaux de la géométrie vectorielle. Ce document est un excellent outil de révision, proposant des exercices variés qui couvrent l'essentiel du programme : la relation de Chasles, la construction de points, la colinéarité et l'alignement. Chaque exercice est conçu pour renforcer la compréhension théorique et la capacité à appliquer les formules dans des contextes géométriques concrets. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution, faisant de ce sujet un passage obligé pour préparer efficacement votre prochaine évaluation.

Exercice 1 : Maîtrise des outils de base des vecteurs

Cet exercice de 10 points est une série de questions indépendantes conçues pour vérifier la connaissance des définitions et des propriétés élémentaires des vecteurs, notamment la relation de Chasles et la manipulation des égalités vectorielles.

• Question 1 : Il s'agit d'une application directe de la relation de Chasles. Il faut compléter des égalités vectorielles comme \(\vec{MN} = \vec{MQ} + \vec{QN}\). C'est l'occasion de vérifier que la "chaîne" vectorielle est bien comprise.
• Question 2 : Cette question se base sur une figure simple (des points sur une droite graduée) pour évaluer la capacité à lire graphiquement des relations de colinéarité et à construire des points.
  • a) On demande de trouver les scalaires \(k\) et \(k'\) tels que \(\vec{AB} = k \vec{AC}\) et \(\vec{AC} = k' \vec{CB}\). En observant les graduations, on établit que \(B\) est le milieu de \([AC]\), donc \(\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). De même, on trouve la relation entre \(\vec{AC}\) et \(\vec{CB}\).
  • b) Il faut placer le point \(E\) défini par l'égalité \(\vec{CE} = -\frac{4}{3}\vec{AB}\). Cet exercice teste la compréhension du produit d'un vecteur par un réel (direction, sens et norme) pour réaliser une construction géométrique précise.
• Question 3 : L'objectif est de manipuler une équation vectorielle, \(\vec{MA} + 2\vec{MB} = \vec{0}\), pour exprimer un vecteur en fonction d'un autre et construire le point correspondant. En utilisant la relation de Chasles pour décomposer \(\vec{MB}\) en \(\vec{MA} + \vec{AB}\), on isole \(\vec{AM}\) : \(\vec{MA} + 2(\vec{MA} + \vec{AB}) = \vec{0} \Rightarrow 3\vec{MA} + 2\vec{AB} = \vec{0} \Rightarrow -3\vec{AM} = -2\vec{AB} \Rightarrow \vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AB}\). Le point \(M\) est alors placé aux deux tiers du segment \([AB]\) en partant de \(A\).
• Question 4 : Cette question demande de réécrire un vecteur \(\vec{u} = 3\vec{AB} - 5\vec{CB}\) en fonction des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). C'est un pur exercice de calcul vectoriel utilisant Chasles pour décomposer le vecteur "intrus" \(\vec{CB}\) : \(\vec{CB} = \vec{CA} + \vec{AB} = -\vec{AC} + \vec{AB}\). En substituant, on obtient une expression uniquement en fonction de la base \((\vec{AB}, \vec{AC})\).

Exercice 2 : Problème d'alignement de points

Ce second exercice, également sur 10 points, est un problème classique de géométrie vectorielle. À partir d'un triangle \(ABC\) et de points \(M, N, P\) définis par des relations vectorielles, l'objectif final est de démontrer que ces trois points sont alignés.

• Définition des points :
  • \(M\) est le milieu de \([AB]\), ce qui se traduit par \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}\).
  • \(P\) est l'image de \(C\) par la translation de vecteur \(\vec{BC}\), ce qui signifie que \(\vec{CP} = \vec{BC}\).
  • \(N\) est défini par \(\vec{AN} = \frac{2}{3}\vec{AC}\).
• Question 1 : La première étape consiste à réaliser une figure claire et précise en plaçant correctement les points \(M, N, P\) à partir des définitions.
• Question 2 : C'est le cœur du problème. Il faut exprimer les vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{MP}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). Cette méthode, qui consiste à tout ramener à une base de vecteurs issue de la figure, est fondamentale.
  • Pour \(\vec{MN}\), on utilise Chasles : \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}\). On remplace ensuite avec les définitions : \(\vec{MN} = -\vec{AM} + \vec{AN} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}\).
  • Pour \(\vec{MP}\), la décomposition est un peu plus longue : \(\vec{MP} = \vec{MA} + \vec{AP}\). Il faut d'abord exprimer \(\vec{AP}\). On a \(\vec{AP} = \vec{AC} + \vec{CP}\). Or, \(\vec{CP} = \vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC} = -\vec{AB} + \vec{AC}\). Donc \(\vec{AP} = \vec{AC} + (-\vec{AB} + \vec{AC}) = -\vec{AB} + 2\vec{AC}\). Finalement, \(\vec{MP} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + (-\vec{AB} + 2\vec{AC}) = -\frac{3}{2}\vec{AB} + 2\vec{AC}\).
• Question 3 : La conclusion découle de la question précédente. En comparant les expressions de \(\vec{MN}\) et \(\vec{MP}\), on cherche une relation de proportionnalité. On remarque que : \(3 \times \vec{MN} = 3 \times (-\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}) = -\frac{3}{2}\vec{AB} + 2\vec{AC} = \vec{MP}\). Puisque \(\vec{MP} = 3\vec{MN}\), les vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{MP}\) sont colinéaires. Comme ils ont un point en commun (\(M\)), les points \(M, N,\) et \(P\) sont donc alignés.