14. Résoudre des équations avec la fonction cube

Introduction

Allez les amis, on est parti pour résoudre des équations avec \(x^3\). On va voir que cette résolution d'équations peut s'exprimer différemment. Comment cela ? On va le voir tout de suite.

Résolution d'une équation avec \(x^3\)

Pour résoudre une équation avec \(x^3\), c'est-à-dire quand on vous demande de chercher \(x\) pour \(x^3 = -64\), on cherche un nombre fixe qui, quand on le multiplie trois fois par lui-même, donne -64. Donc ce qu'on va commencer à faire, c'est de décomposer le nombre -64. Je vais commencer par dire que c'est -64, qui est un nombre pair, donc je peux le diviser par 2 pour obtenir -32. Je continue ainsi jusqu'à obtenir -2 x -2 x -2 x -2 x -2 x -2. Je cherche un nombre qui, quand je le multiplie trois fois par lui-même, donne -64. Donc j'essaie de regrouper les -2 pour faire trois paquets. Ça tombe bien, j'ai trois groupes de -2 x -2 x -2. Donc je vais dire que c'est -4 x -4 x -4. Sauf que le problème c'est que j'ai pas trois fois le même nombre. J'ai -4 puis j'ai 4 puis j'ai 4. -4 et 4 ce n'est pas la même chose. C'est pas grave parce que je vais utiliser le fait que -4 x -4, vu que les moins vont s'annuler, c'est la même chose que 4 x 4. Donc -4 x -4 x -4 va faire -64. Donc -64, sa racine cubique, c'est-à-dire le nombre qui, quand je le mets au cube, donne -64, c'est -4.

Différence entre la fonction carrée et la fonction cube

Qu'est-ce qu'on remarque de très différent ? Parfois, la fonction carrée, quand je prenais un nombre par exemple -4 et que je le mettais au carré, le résultat était forcément positif. Autrement dit, le carré faisait sauter le moins. Ce n'est pas le cas de la fonction cube. La fonction cube ne fait pas sauter les moins. Si vous avez un nombre négatif que vous le passez dans la fonction cube, il reste négatif.

Exemple plus compliqué

Prenons un exemple plus compliqué. On va s'en servir tout le temps de ces histoires là. Vous vous dites : "Ok, -4 au cube, mais comment je le fais ?" Parce que la racine cubique de 3, c'est un casse-tête. 3 n'est pas un nombre premier, donc on va décomposer 3. Comment ? On sait que 3 c'est la racine cubique de 3 x la racine cubique de 3 x la racine cubique de 3. Pourquoi ? Parce que la racine cubique de 3 x la racine cubique de 3 x la racine cubique de 3 fait 3. Donc en fait, j'ai la racine cubique de 3 au cube. Donc mon \(x\) au cube doit faire la racine cubique de 3 au cube. Donc \(x\) c'est la racine cubique de 3.

Dernier exemple

Enfin, prenons un dernier exemple : la racine cubique de 64/125. Donc là, on va recommencer la même histoire. Quand on a décomposé 64, on l'a coupé en petits bouts. Quand on a 64/125, on va couper 64 et 125 en petits bouts. Donc trouver la racine cubique de 64/125, ça revient à résoudre quand est-ce que \(x^3 = 64/125\). On a déjà fait le travail de montrer que 64 c'est \(4^3\) et que 125 c'est \(5^3\). Donc \(64/125 = 4^3/5^3\). D'après les propriétés des puissances, \(4^3/5^3 = (4/5)^3\). Donc on cherchait un nombre qui, quand je le mets au cube, fait 64/125. Sauf que 64/125 ça fait \((4/5)^3\). Donc la solution de cette équation c'est \(x = 4/5\).

Conclusion

Voilà, j'espère que ces exemples vous ont aidé à comprendre comment résoudre des équations avec \(x^3\). N'hésitez pas à faire les exercices en dessous qui reprennent toutes les formes d'équations qu'on a vues. Vous êtes des machines, à vous de jouer !