9. Démontrer que trois points sont alignés

Introduction

Allez les amis, on est parti pour la compétence la plus inutile de l'histoire : démontrer que trois points sont alignés en utilisant les équations de droite et position cartésienne, équation réduite. Je vous explique tout de suite pourquoi ça sert à rien.

Explication de la méthode

En seconde, à ce stade de l'année, quand vous voulez démontrer que trois points sont alignés, il y a une technique extrêmement puissante qui consiste à dire que si trois points sont alignés, donc si \(A\), \(B\) et \(C\) sont sur la même ligne, ce que je peux faire pour vérifier, c'est calculer les coordonnées du vecteur \(AB\), celles du vecteur \(AC\) et vérifier que les vecteurs sont colinéaires. C'est une affaire de secondes avec le déterminant. C'est vrai que je sais si les points sont alignés. J'ai une autre technique, on peut vous demander de faire, qui est 4,5 fois plus longue et qui consiste à dire : "Bon, si ces points sont alignés, je vais d'abord trouver l'équation de la droite \(AB\) ou de la droite \(AC\). Une fois que j'aurai trouvé l'équation de la droite \(AB\), je vais prendre les coordonnées du troisième point, les mettre dans l'équation et vérifier si le point y est. Si le point y est, ça veut dire que le point \(C\) est sur la droite \(AB\), du coup, les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés."

Application de la méthode

Vous voyez, ça va épuiser rien que d'expliquer la complexité de cette histoire là. Le problème, c'est que ce sont des choses qui tombent en contrôle et du coup, il faut que vous sachiez le faire. Donc, on y va. Première étape, on va calculer les coordonnées du vecteur \(AB\) parce qu'en effet, le vecteur \(AB\) sera le vecteur directeur de la droite \(AB\). Une fois que j'aurai le vecteur \(AB\), je me servirai du point \(A\) comme point de passage pour trouver l'équation. Donc, les coordonnées de \(AB\), j'utilise la formule que vous connaissez, c'est les coordonnées de \(A\) et de \(B\) moins celles de \(A\). Donc, ça va me faire \(-2 - 1 = -3\) et \(-12 - 3 = -15\). Les coordonnées de \(AB\), j'aurais pu les mettre en colonne, c'est vraiment juste une histoire d'écriture. Une fois que j'ai ça, je sais que dans mon équation de droite qui s'écrit \(ax + by + c = 0\), ce que je veux dire ici, c'est que \(-b\) est ce que j'avais pour \(a\), donc je sais déjà que je peux remplacer \(a\) par \(-1\) et \(b\) par \(3\) parce que \(-b\) vaut \(-3\). Il me reste plus qu'à trouver \(c\). Pour trouver \(c\), je vais utiliser les coordonnées d'un point de passage dont je suis sûr qu'il est sur la droite, ce n'est pas le point \(C\) parce que le but est de le vérifier. Si la droite passe par \(A\), donc je vais utiliser soit le point \(A\) soit le point \(B\). Quand je remets les coordonnées de \(A\) là dedans, donc \(-1 \times 3 + 3 \times 3 + c = 0\), \(-3 + 9\) ça me fait \(6 + c = 0\), donc \(c = -6\). Donc, je peux remplacer mon \(c\) ici par \(-6\). Donc, l'équation de la droite \(AB\) est \(-x + 3y - 6 = 0\). Comment est-ce que je fais maintenant pour vérifier si mon point \(C\) est dessus ? Eh bien, je vais prendre les coordonnées de \(C\), c'est-à-dire \((3, 13)\), et je vais les remplacer là dedans. Est-ce que \(-1 \times 3 + 3 \times 13 - 6\) est bien égale à zéro ? \(-3 + 39 - 6 = 0\), donc le point \(C\) appartient à la droite \(AB\), donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés. Vous voyez le temps que ça a pris ? Je ne sais pas, peut-être trois ou quatre minutes, alors qu'avec les vecteurs, ça se fait littéralement en deux secondes. J'ai \(AB\), je calcule \(AC\), je fais le déterminant et c'est plié. On vous a quand même mis des exercices en dessous, entraînez-vous, même si c'est débile, ça tombe en contrôle. À vous de jouer.