Introduction
Allez les amis, on est parti pour résoudre des problèmes d'équations avec la fonction inverse que je vous ai représentée ici. C'est très rapide, on s'y met tout de suite.
La fonction inverse
Pour ce genre d'exercice, quand vous avez une équation avec la fonction inverse, comme pour les fonctions carrées et racines, et peut-être même encore plus qu'avec les autres fonctions, il faut faire un dessin. Donc, quand vous voulez résoudre \( \frac{1}{x} > 3 \), vous n'essayez pas de faire sans avoir dessiné avant la fonction inverse.
C'est ma fonction inverse. Je veux qu'elle soit plus grande que 3. Où est-ce que je vais placer mon 3 ? Est-ce que je le place sur cet axe là ou cet axe là ? Quand je veux lire les valeurs de la fonction, je lis toujours sur l'axe vertical. Donc si je veux que ma fonction soit plus grande que 3, je dois placer mon 3 ici.
Maintenant, je veux être plus grand que 3, donc je veux être sur cet intervalle. Comment faire pour être plus grand que 3 ? Je teste. Je prends des valeurs au hasard et je regarde. Si je prends cette valeur de x, est-ce que j'arrive à être plus grand que 3 ? Non, je ne suis pas dans la zone. Si je me mets là, non, je ne suis pas dans la zone. Finalement, quand est-ce que je suis dans la zone ? Par exemple, proche de zéro, j'arrive dans ma zone.
Résolution de l'équation
Donc, vous allez trouver le premier nombre ici qui vous amène à 3. Quel est le nombre qui, quand je le mets dans la fonction inverse, me donne trois ? Quel est l'antécédent de 3 par la fonction inverse ? C'est-à-dire l'inverse de 3, c'est un tiers. Donc je sais que le premier nombre qui m'amène dans mon intervalle, c'est un tiers. Et tous ceux qui sont plus petits que un tiers, c'est-à-dire tous ceux qui sont là, ils vont m'amener dans l'intervalle qui m'intéresse.
Donc ma solution, c'est de dire que \( x \) appartient à un intervalle qui est à droite de un tiers et à gauche de zéro. Donc je sais que \( x \) appartient à l'intervalle \( ]0, \frac{1}{3}] \).
Maintenant, est-ce que je veux le faire avec des intervalles ouverts ou fermés ? Je réfléchis. Je vais être supérieur ou égal à 3. Donc un tiers, qui me donne 3, est-ce que je le garde ou est-ce que je ne le garde pas ? Vu que j'ai le droit d'être égal à trois, un tiers qui me donne 3, je vais le garder. Donc je le mets vers l'intérieur de mon intervalle. En revanche, 0, qui est le nombre ici qui est à l'origine, est-ce que j'ai le droit de le mettre dans la fonction inverse ? Sans même me préoccuper de tout ça, je sais que je n'ai jamais, jamais, jamais le droit de mettre zéro dans la fonction inverse, sinon ça me fait un \( \frac{1}{0} \), le monde s'effondre. Donc non, 0, quoi qu'il arrive, je vais le mettre en dehors de l'intervalle. Et c'est terminé.
Conclusion
On vous a mis des exercices à vous de jouer, notamment dans les cas où, plutôt que d'avoir des 3, j'aurais par exemple des 4. Qu'est-ce qui se passe là ? La solution, mon antécédent, ça ne va pas être un tiers mais un quart. On vous a mis des exercices à vous de jouer. Vous êtes des champions.