Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir comment résoudre des inéquations avec la fonction racine. On s'y met. Pour résoudre une équation avec la fonction racine, je vous recommande de dessiner un graphique.
Premier cas : \( \sqrt{x} \geq 3 \)
Si je veux résoudre \( \sqrt{x} \geq 3 \), je sais que \( \sqrt{x} \) je vais le mettre sur cet axe. Donc je veux que \( \sqrt{x} \) soit plus grand que 3, donc je vais faire apparaître trois ici. Si je suis plus grand que trois, ça veut dire que je suis sur ces zones. Donc je vais réfléchir et me demander quels sont les points qui me permettent d'arriver dans cette zone. J'en prends un au hasard, si je prends par exemple 500, \( \sqrt{500} \) ça fait à peu près 15 ou 17. Donc 15 ou 17, ça m'amène au-dessus de 3. Quel est le premier nombre qui m'amène dans l'intervalle qui est intéressant ? Quel est le premier nombre qui, quand je le passe sous racine, me donne 3 ? Eh bien, le premier nombre qui, quand je le passe en racine, me donne 3, c'est 9. \( \sqrt{9} \) ça fait bien trois. Donc si je me retrouve dans cette zone là, il faut que je sois ici ou ici, mais il faut que je sois dans cette zone. Donc les solutions de \( \sqrt{x} \geq 3 \) c'est tous les \( x \) qui sont supérieurs ou égaux à 9, \( x \geq 9 \). Autrement dit, si je dois donner la solution sous forme d'intervalle, ce sont les \( x \) qui appartiennent à l'intervalle qui commence à 9 et qui va jusqu'à \( +\infty \). Est-ce que 9 doit être inclus ? Oui, il doit être plus grand ou égal à 9 parce que \( \sqrt{x} \) doit être plus grand ou égal à 3. Donc 9 est une option, 9 est autorisé.
Deuxième cas : \( \sqrt{x} < 5 \)
Du coup, j'ai positionné mon 5 ici, je veux être plus petit que 5, donc ce qui m'intéresse c'est toute cette zone. Quelle est la première valeur qui va me donner 5 ? Eh bien, c'est 25, parce que \( \sqrt{25} \) ça me donne bien cinq. Tous les nombres qui sont ici, par exemple celui-là, celui-là, celui-là, vont me donner une valeur inférieure à 5. Donc j'ai envie de dire que \( x < 25 \). Sauf qu'il faut faire attention parce que dans le cas de la fonction racine, on vous rappelle que \( x \) ne peut jamais être inférieur à zéro. En effet, la racine d'un nombre négatif ça n'existe pas. Donc \( x \) doit être compris entre 0 et 25, ce qui va se traduire en termes d'intervalle par \( x \in [0,25[ \). Est-ce que je garde mon 25 ? Non, parce que je veux que \( x \) soit strictement inférieur à 25, parce que \( \sqrt{x} \) doit être strictement inférieur à 5. Donc le 25, je l'exclus. Que 0, je garde, parce que 0 c'est une valeur autorisée, \( \sqrt{0} \) ça existe.
Troisième cas : \( \sqrt{x} > -1 \)
Donc, -1 est ici. On est amené à dire : quand est-ce que la racine d'un nombre est plus grande que -1 ? Eh bien, la racine d'un nombre est toujours plus grande que -1. Donc les valeurs de \( x \) telles que \( \sqrt{x} > -1 \), c'est tous les nombres compris entre 0 et \( +\infty \). Tous les nombres sont positifs, la racine est positive. Ils seront toujours au-dessus de -1.
Question bonus : \( \sqrt{x} < -1 \)
Quels sont les nombres dont la racine est plus petite que -1 ? Réponse : aucun. Aucun nombre dont la racine est négative. Donc la solution, ça serait l'ensemble vide.
On vous a mis des petits exercices en dessous, c'est pas compliqué, vous êtes des champions.