Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde, axé sur deux chapitres fondamentaux du programme : les vecteurs et les taux d'évolution. D'une durée d'une heure, cette évaluation avec calculatrice autorisée permet de vérifier la maîtrise des outils de la géométrie analytique et l'application des pourcentages dans divers contextes. Ce corrigé détaillé vous aidera à comprendre chaque étape des raisonnements et à vous préparer efficacement pour vos examens.

Exercice 1 : Applications des Vecteurs dans un Repère (8 points)

Cet exercice complet de géométrie analytique se déroule dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\). On étudie les propriétés de figures formées par les points \(A(1; 2)\), \(B(4; 1)\), \(C(2; -3)\), \(D(-1; -2)\) et \(E(7; 14)\). Toutes les réponses doivent être justifiées par le calcul.

• 1. Démontrer que ABCD est un parallélogramme : La méthode consiste à calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{DC}\). Si \(\vec{AB} = \vec{DC}\), c'est-à-dire si leurs coordonnées sont identiques, alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
• 2. Démontrer que les points A, D et E sont alignés : Pour prouver l'alignement, il faut montrer que les vecteurs \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) sont colinéaires. On calcule leurs coordonnées et on vérifie s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{AE} = k \cdot \vec{AD}\).
• 3. Coordonnées du milieu F de [CD] : Application directe de la formule du milieu d'un segment : \(F\left(\frac{x_C+x_D}{2}; \frac{y_C+y_D}{2}\right)\).
• 4. Parallélisme des droites (AF) et (EB) : Cette question revient à tester la colinéarité des vecteurs \(\vec{AF}\) et \(\vec{EB}\). On calcule leurs coordonnées et on utilise le critère de colinéarité \(xy' - x'y = 0\).
• 5. Norme de vecteurs et médiatrice : Il faut d'abord calculer les normes des vecteurs \(\vec{AG}\) et \(\vec{CG}\) avec \(G(9; 1)\) en utilisant la formule \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}\). Si les normes sont égales (\(\|\vec{AG}\| = \|\vec{CG}\|\)), cela signifie que les distances \(AG\) et \(CG\) sont égales, et donc que le point \(G\) appartient à la médiatrice du segment \([AC]\).
• 6. Coordonnées d'un point H défini par une relation vectorielle : On part de la relation \(\vec{AH} = 2\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AE}\). En passant aux coordonnées, on obtient un système d'équations pour trouver les coordonnées \((x_H; y_H)\) du point H.

Exercice 2 : Condition de Parallélisme avec Paramètre (3 points)

Cet exercice aborde la colinéarité de vecteurs avec une inconnue. Avec les points \(A(1; 1)\), \(B(k; 3)\), \(C(4; 1)\) et \(D(12; k)\), il est demandé de trouver les valeurs du réel \(k\) pour que les droites \((AB)\) et \((CD)\) soient parallèles. La résolution passe par le calcul des coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) en fonction de \(k\), puis par l'application de la condition de colinéarité, qui aboutit à une équation du second degré en \(k\).

Exercice 3 : Problèmes de Taux d'Évolution (6 points)

Cet exercice balaie différentes situations concrètes impliquant des pourcentages et des taux d'évolution. Les questions sont indépendantes.

• 1. Calcul de prix TTC : Application d'une hausse de 20% (TVA) sur un prix Hors Taxes de 140 €.
• 2. Calcul d'un taux d'évolution : Détermination de l'évolution en pourcentage du cours d'une action connaissant sa valeur initiale et sa valeur finale.
• 3. Calcul d'une valeur initiale : Un prix de 360 € est donné après une réduction de 20%. Il faut retrouver le prix d'origine en utilisant le coefficient multiplicateur réciproque.
• 4. Évolutions successives : Calcul du taux d'évolution global d'un prix subissant une hausse de 20%, puis deux baisses successives de 30% et 10%. Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs successifs.
• 5. Recherche d'un taux d'évolution inconnu : La fréquentation d'un cinéma a baissé de 20% puis de \(x\%\), pour une baisse totale de 42%. Le but est de modéliser la situation avec les coefficients multiplicateurs pour trouver la valeur de \(x\).

Exercice 4 : Pourcentage de Pourcentages (3 points)

Ce dernier exercice est un problème classique de proportion de proportion. Un ébéniste vend des tables (60% des ventes) et des commodes. On sait que 20% des tables et 40% des commodes sont en chêne. La question est de déterminer le pourcentage total de meubles en chêne vendus. La résolution peut se faire à l'aide d'un arbre pondéré ou par le calcul direct des proportions.