2. Résoudre des inéquations avec la fonction carré

Introduction

Allons-y, dans cette compétence, nous allons voir comment résoudre des inéquations avec \(x^2\) sans se tromper et très rapidement. On s'y met.

Résolution d'une inéquation avec \(x^2\)

Pour résoudre une équation avec \(x^2\), il va d'abord falloir positionner ce nombre. Dans mon cas, \(x^2\) est plus petit que 16. Je fais apparaître mon 16 sur la verticale. Ensuite, je me demande si ma fonction \(x^2\) doit être plus grande ou plus petite que 16. Je veux qu'elle soit plus petite, donc je vais colorer en rouge toutes les valeurs qui sont plus petites que 16. En fait, c'est toute cette zone. Je m'arrête à zéro parce que, évidemment, la fonction \(x^2\) ne pourra jamais être négative. Les valeurs qui m'intéressent sont celles qui sont en rouge. Maintenant, je me demande comment, en partant de l'axe horizontal, c'est-à-dire des valeurs de \(x\), je peux arriver dans cette zone rouge. Je fais des tests. Ici, ça marche. Ici, ça marche. Ici, ça marche. Ok, à partir de quoi ça ne marche plus ? Autrement dit, quel est ce nombre qui marque ma limite ? Ce nombre, c'est la racine carrée de 16 par la fonction \(x^2\), autrement dit, le nombre qui, quand je le mets au carré, me donne 16. Donc, c'est 4, comme on l'a vu dans la précédente vidéo sur les équations. Idem de ce côté, c'est -4. Maintenant, je vais colorer sur cet axe toutes les valeurs qui me permettent d'arriver jusqu'à 16. Par exemple, si je mets -4, ok, je suis dans la zone rouge, donc c'est bon. Si je mets 4, j'arrive dans la zone rouge, donc c'est bon. Toute cette zone est bonne. Est-ce que cette zone est bonne aussi ? Oui, tant que j'arrive sur le rouge, c'est bon. La zone rouge que j'ai colorée sur l'axe horizontal est la zone de solution. Autrement dit, les \(x\) sont compris entre -4 et 4. Est-ce que je veux -4 et 4 ? Oui, parce que pour -4 et 4, \(x^2\) est égal à 16. On sait qu'il est autorisé. J'ai dit que \(x^2\) est inférieur ou égal à 16. Donc, mes solutions, c'est l'intervalle qui va de -4 à 4. On pourrait aussi écrire que \(x\) appartient à l'intervalle \([-4, 4]\). C'est une notation différente pour dire exactement la même chose.

Exercice

Essayons de résoudre rapidement au brouillon une autre inéquation : \(x^2\) est plus grand que 5. Voyons si vous y arrivez. Il y a une légère nuance. Pour \(x^2\) est plus grand que 5, on va faire le même principe. Donc, je vais faire apparaître mon 5 ici. Je veux que ma fonction \(x^2\) soit plus grande que 5, donc je vais colorer les chiffres qui sont au-dessus de 5. Et je me demande maintenant comment je fais pour arriver dans cette zone bleue. Je prends un exemple. Par exemple, si je mets 1, \(1^2\) ne donne pas un nombre au-dessus de 5. Si je mets 2, \(2^2\) donne 4, ce n'est toujours pas au-dessus de 5. À partir de combien est-ce que je vais être bon ? Quel est ce nombre à partir duquel je vais arriver dans la bonne zone, dans la zone bleue ? Ce nombre, c'est la racine carrée de 5. En effet, si je fais \(\sqrt{5}^2\), ça me donne bien 5. Et de l'autre côté, j'ai -\(\sqrt{5}\). Donc, pour arriver dans cette zone bleue, je peux partir de n'importe où à gauche et à droite de ces valeurs. Donc, les intervalles qui m'intéressent sont ceux qui me permettent d'avoir \(x^2\) plus grand que 5. Donc, c'est très à gauche jusqu'à -\(\sqrt{5}\), puis je reprends à \(\sqrt{5}\) jusqu'à très à droite. Autrement dit, ma solution va être deux intervalles. Donc, je vais devoir les réunir avec une union. Le premier va de -\(\infty\) jusqu'à -\(\sqrt{5}\). Je l'exclus parce que je ne veux pas que 5 soit une solution. En effet, j'ai une supériorité stricte comparée à tout à l'heure où j'avais une infériorité ou égalité, donc je gardais mes chiffres. Là, je les sors de mon intervalle. Je commence à -\(\infty\) qui est toujours dehors, c'est-à-dire le nombre qui est extrêmement à gauche, donc de -\(\infty\) jusqu'à -\(\sqrt{5}\), union \(\sqrt{5}\) jusqu'à +\(\infty\). J'exclus \(\sqrt{5}\). Vous n'avez aucune chance de résoudre des inéquations si vous n'êtes pas capable de vous faire un petit schéma pour savoir de quelle zone vous avez besoin et comment vous pouvez accéder à ces zones. Entraînez-vous, on vous a mis des supers exercices qui sont très simples à gérer. Vous êtes des machines à vous.