Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Seconde est une évaluation complète d'une durée de 2 heures, portant sur plusieurs chapitres clés du programme : l'étude de fonctions, les fonctions affines, les vecteurs et la résolution d'inéquations. Ce document, avec son corrigé détaillé, est une ressource précieuse pour les élèves souhaitant s'entraîner et maîtriser ces notions fondamentales. La calculatrice est autorisée, indiquant que l'accent est mis sur le raisonnement et la mise en application des méthodes plutôt que sur le calcul pur.

Exercice 1 : Étude de fonctions et inéquations (6 points)

Cet exercice est un problème complet d'analyse de fonctions, découpé en trois parties interdépendantes. Il permet d'évaluer la capacité à passer du graphique à l'analytique et à résoudre des problèmes complexes.

• Partie A : Lecture graphique d'une fonction rationnelle. On étudie la fonction \( g(x) = \frac{4 - x^2}{2x + 10} \) sur l'intervalle \( ]-5; +\infty[ \).
  • La première question demande de dresser le tableau de variations de \(g\) par simple lecture de sa courbe représentative. Il faut identifier les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que les éventuels extremums.
  • La seconde question consiste à résoudre graphiquement l'équation \(g(x) = 0\). Cela revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
• Partie B : Étude d'une fonction affine. On travaille sur une fonction affine \(h\) définie par deux points : \(h(3) = 0\) et \(h(-1) = 2\).
  • Il faut d'abord déterminer l'expression de \(h(x)\), une compétence classique sur les fonctions affines.
  • Ensuite, on justifie son sens de variation, qui dépend du signe de son coefficient directeur.
  • Enfin, il est demandé de tracer la droite représentative de \(h\) dans le repère fourni.
• Partie C : Comparaison de fonctions et inéquation. Cette partie fait le lien entre \(g\) et \(h\).
  • On commence par vérifier une identité algébrique sur la différence \(h(x) - g(x)\).
  • La question suivante demande de calculer les coordonnées des points d'intersection des deux courbes, ce qui se traduit par la résolution de l'équation \(h(x) = g(x)\), ou \(h(x) - g(x) = 0\).
  • Le point culminant est la résolution de l'inéquation \(h(x) \ge g(x)\). Pour cela, on doit d'abord étudier le signe du quotient \( \frac{11 - 2x}{2x + 10} \) à l'aide d'un tableau de signes, une méthode essentielle pour la résolution d'inéquations.

Exercice 2 : Géométrie vectorielle dans le plan (5 points)

Ce second exercice est un classique de la géométrie vectorielle en Seconde. Il se déroule dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \) et mobilise les compétences de calcul et de raisonnement avec les vecteurs.

• On débute par le calcul des coordonnées des vecteurs \( \vec{DE} \), \( \vec{DF} \) et \( \vec{EF} \) à partir des coordonnées des points \( D, E, F \).
• Ensuite, il faut déterminer les coordonnées de points \( R, S, T \) définis par des égalités vectorielles comme \( \vec{DR} = 4\vec{DE} \). Cela demande de maîtriser les opérations sur les coordonnées de vecteurs.
• La troisième question est un test de démonstration : il faut prouver que deux droites, \( (ST) \) et \( (FR) \), sont parallèles. La méthode consiste à montrer que les vecteurs directeurs \( \vec{ST} \) et \( \vec{FR} \) sont colinéaires.
• On applique ensuite la formule des coordonnées du milieu d'un segment pour trouver le point \(K\), milieu de \( [DR] \).
• Pour finir, il est demandé de démontrer que les points \( S, T, K \) sont alignés, ce qui revient à prouver que les vecteurs \( \vec{ST} \) et \( \vec{SK} \) sont colinéaires.

Exercice 3 : Vecteurs et paramètre (3 points)

Cet exercice ajoute une dimension algébrique à l'étude des vecteurs en introduisant un paramètre réel \(x\) dans leurs coordonnées : \( \vec{u}\begin{pmatrix} x-8 \\ 4 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} -4 \\ x+2 \end{pmatrix} \).

• La première question porte sur la colinéarité de \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). En utilisant la condition de colinéarité \( xy' - x'y = 0 \), on aboutit à une équation du second degré en \(x\) à résoudre.
• Les questions 2 et 3 consistent à exprimer la norme au carré des vecteurs, \( ||\vec{u}||^2 \) et \( ||\vec{v}||^2 \), en fonction de \(x\). C'est une application directe de la formule de la norme.
• La dernière question demande de trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles les vecteurs ont la même norme, soit \( ||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| \). Cela revient à résoudre l'équation \( ||\vec{u}||^2 = ||\vec{v}||^2 \), qui se simplifie en une équation du premier degré.

Exercice 4 : Inéquation produit (2 points)

Cet exercice court et technique se concentre sur la résolution d'une inéquation : \( (-2x + 4)^2 \ge (-2x + 4)(x - 1) \). L'approche experte consiste à ne surtout pas développer, mais à transposer tous les termes d'un côté, à factoriser par le facteur commun \( (-2x + 4) \), puis à dresser un tableau de signes pour étudier le signe du produit obtenu. C'est un test de maîtrise des techniques de résolution d'inéquations non linéaires.

Exercice 5 : Modélisation et Algorithmique (4 points)

Ce dernier exercice est un problème concret qui évalue la capacité à modéliser une situation par une fonction et à utiliser des outils algorithmiques. Il s'agit d'une tarification de location de scooters définie par morceaux.

• Les premières questions sont directes : calculer des images (le prix pour 5h et 20h) et exprimer la fonction prix \(P(x)\) qui est une fonction affine par morceaux.
• La partie 3 introduit l'algorithmique en demandant de compléter une fonction Python `prix(x)` qui modélise la tarification avec une structure conditionnelle `if/else`.
• La dernière partie mêle calculs d'images et d'antécédents. Il faut d'abord remplir un tableau de valeurs, puis déterminer le temps de location maximal pour un budget donné. Enfin, on doit compléter un second programme Python, cette fois avec une boucle `while`, pour automatiser la recherche de ce temps maximal.

En somme, ce contrôle corrigé de maths niveau Seconde offre un panorama complet des compétences à acquérir sur les fonctions, les vecteurs et les inéquations, en y ajoutant une touche de logique algorithmique, de plus en plus présente dans les programmes.