13. Dresser le tableau de variation d'une fonction trigonométrique

Introduction

Allez les amis, on est parti pour savoir comment est-ce qu'on fait pour dresser le tableau de variation d'une fonction sinus ou cosinus en terminale. On fait ça tout de suite. Pour dresser un tableau de variation d'une fonction comme \(f(x) = \cos^2(x)\), on va procéder exactement de la même manière que ce qu'on fait depuis la première. C'est-à-dire qu'on va premièrement dériver la fonction, deuxièmement étudier le signe de la dérivée et à partir du signe de la dérivée, on en déduira les variations de la fonction.

Dérivation de la fonction

Je dérive ma fonction \(f\), donc \(f'(x)\). Je reconnais ici que j'ai une fonction de la forme \(u^2\) et je sais que la dérivée de \(u^2\), la dérivée de \(u^n\) c'est \(2x \cdot u' \cdot u^{n-1}\), donc \(x \cdot u^1\). Donc mon \(f'(x)\) ça va être \(2\) multiplié par la dérivée de \(\cos(x)\) qui est \(-\sin(x)\). Donc, \(2 \cdot -\sin(x) \cdot \cos(x)\). J'ai ma dérivée qui est sous forme d'un produit. Vous savez que quand vous avez une dérivée qui est sous la forme d'un produit, vous pouvez vous contenter de faire une ligne par chaque bout du produit.

Étude du signe de la dérivée

Je fais une ligne pour \(x\), une ligne pour \(-2\), une ligne pour le sinus, une ligne pour le cosinus, une ligne pour \(f'\) et je garderai \(f\) à la fin. L'énoncé nous dit qu'il faut étudier entre \(0\) et \(2\pi\). Donc je mets mes bornes ici. Je commence avec \(-2\). \(-2\) est toujours négatif quelle que soit la valeur de \(x\), donc ça ne bouge pas. Pour étudier le sinus de \(x\) entre \(0\) et \(\pi\), on va se rappeler de à quoi ça ressemble. Le sinus est positif entre \(0\) et \(\pi\), puis négatif entre \(\pi\) et \(2\pi\). Pour le cosinus, il est positif entre \(0\) et \(\pi/2\), puis négatif entre \(\pi/2\) et \(3\pi/2\), et enfin positif entre \(3\pi/2\) et \(2\pi\). Avec la règle des signes, on obtient le signe de \(f'(x)\). Quand c'est moins, ça descend. Quand c'est plus, ça monte.

Conclusion

On peut vous demander les valeurs, mais elles sont très faciles à faire. Prenons par exemple \(3\pi/2\). Pour avoir la valeur de \(f\) en \(3\pi/2\), c'est-à-dire le nombre qui est ici, j'ai juste à prendre ma valeur de \(f\) et remplacer \(x\) par \(3\pi/2\). \(\cos(3\pi/2)\) ça fait \(0\), donc ici je me retrouve avec \(0\). C'est du plaisir ces études de fonction trigonométrique. Vous allez voir dans les exercices, il y a des versions légèrement plus compliquées parce qu'on peut très bien s'amuser à mettre à la place de \(x\), \(2x\). Et si je change par \(2x\), ça nous rend galère. Vous n'avez pas idée. Let's go s'entraîner sur Galile.c. On vous a mis plein d'exercices corrigés. À vous de jouer, vous êtes des champions.