Introduction
Allez les amis, on est parti pour trouver l'équation affine d'une fonction quand on a les coordonnées de deux points de passage. C'est un exercice type où on vous dit qu'on a une fonction \(f\), elle passe par \(A\) et elle passe par \(B\), mais on ne connaît pas son expression algébrique, c'est-à-dire son expression en fonction de \(x\). On va le faire en deux étapes. On sait qu'une fonction affine s'écrit \(f(x) = ax + b\), \(a\) étant le coefficient directeur et \(b\) étant l'ordonnée à l'origine. Quand on a une représentation graphique de la fonction, le plus simple à lire est \(b\). Quand on n'a pas de représentation, le plus simple à calculer est \(a\). Donc on va commencer par calculer \(a\) en utilisant la formule \(a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\). Une fois qu'on aura trouvé \(a\), on va trouver \(b\) en remplaçant \(x\) par les coordonnées d'un de ces deux points.
Calcul du coefficient directeur
Allez, on calcule la valeur de \(a\). On a la formule qui s'affiche là, mais que vous connaissez déjà pour connaître \(a\) quand on a deux points de passage \(A\) et \(B\), il suffit de calculer \(\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\). Donc on a \(y_B = 25\), \(y_A = 3\), \(x_B = 12\) et \(x_A = 1\). Donc \(\frac{25 - 3}{12 - 1} = \frac{22}{11} = 2\). Donc maintenant je sais que \(f(x)\) s'écrit \(2x + b\). J'ai commencé par trouver \(a\), il me reste plus qu'à trouver \(b\).
Calcul de l'ordonnée à l'origine
Comment est-ce que je fais pour trouver \(b\) ? Je sais que \(A\) et \(B\) sont des points de passage. On a vu que quand un point est sur une courbe, on avait le droit d'écrire que \(f(x_A) = y_A\). Donc là, j'aimerais dire que \(f(x_A) = 3\), oui mais \(f(x_A)\) ça me fait \(2 \times 1 + b\). Donc je dois dire que \(2 + b = 3\), autrement dit je dois dire que \(b = 3 - 2 = 1\). Et je peux conclure en disant que du coup \(f(x) = 2x + 1\).
On commence par calculer \(a\) en utilisant la formule, ensuite on trouve \(b\) en résolvant l'équation qui nous est donnée par les points de passage. Ça aurait marché aussi si j'avais pris \(f(x_B) = y_B\), j'aurais obtenu exactement les mêmes résultats.
Conclusion
Je recopie mon équation en remplaçant les lettres \(a\) et \(b\) par leur valeur, j'encadre le tout et voilà, c'est fait. On vous a mis des exercices en dessous, ça commence très simple et ça devient de plus en plus compliqué. À vous de jouer, vous êtes des champions.