7. Calculer la norme d'un vecteur dans l'espace

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment calculer la norme d'un vecteur dans l'espace en utilisant les coordonnées de ce vecteur. On s'y met tout de suite.

Problème

Vous êtes face à un cube. Dans ce cube, on vous demande de calculer la norme du vecteur \(DF\), c'est-à-dire de la grande diagonale qui part d'un coin et qui va au coin opposé de l'autre côté du cube. Il y a deux options : soit vous pouvez vous lancer dans une longue galère de Pythagore, c'est-à-dire calculer dix rebonds à sept longueurs. On va la calculer dans le plan \(HDBFM\) qu'on va utiliser pour couper le cube. Pour se retrouver face à un problème plan, on va faire un Pythagore. Sauf que pour avoir calculé la longueur de \(B\), il faudra déjà que vous ayez fait un Pythagore. Bref, on va se lancer dans une galère sans fin. Vous allez voir comme ce problème devient extrêmement facile avec les coordonnées.

Solution

Pour calculer la longueur de \(DF\), on va calculer la norme du vecteur \(DF\). Pour calculer la norme du vecteur \(DF\), on va utiliser la formule qui s'affiche : la norme d'un vecteur \(AB\) est la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées. Donc, on va trouver les coordonnées de \(D\) et les coordonnées de \(F\). Une fois qu'on aura ces deux coordonnées, on va appliquer la formule. Je vous rappelle que dans l'espace, les coordonnées ont trois composantes. On se place dans une base, peu importe laquelle. Moi, je prends la base \(ABH\). Dans cette base, les coordonnées du point \(D\) sont \(0\) fois le vecteur \(AB\), \(1\) fois le vecteur \(AD\) et \(0\) fois le vecteur \(AH\). Si vous ne savez pas comment faire ça, allez voir la compétence qu'on a faite qui vous dit comment lire les coordonnées d'un point dans le plan et dans l'espace. Pour le point \(F\), il est ici. Je fais \(1\) fois \(AB\), \(0\) fois \(AD\) et \(1\) fois \(AH\). Donc, \(1\), \(0\), \(1\). Et maintenant, j'applique la formule. La norme du vecteur \(DF\) est la racine carrée de \((1 - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (1 - 0)^2\). Donc, la norme de \(DF\) est la racine carrée de \(1^2 + (-1)^2 + 1^2\), soit la racine carrée de \(3\). Et voilà, c'est aussi simple que ça pour calculer la longueur d'un vecteur dans l'espace. On trouve les coordonnées des points, on applique la formule et c'est réglé. À vous de jouer, on nous a mis des exercices en bas pour vous aider. Bonne chance !