Introduction
Allez les amis, on est parti pour voir très rapidement comment utiliser le déterminant pour montrer que deux vecteurs sont collinaires. Cette formule est une machine de guerre. Le déterminant vous permet de montrer que deux vecteurs sont collinaires, c'est-à-dire qu'ils ont la même direction mais pas forcément le même sens ni la même longueur.
Procédure
Pour faire ça, on va procéder en deux étapes. Premièrement, je calcule le déterminant de \(u\) et \(v\). Deuxièmement, si ce déterminant vaut zéro, c'est qu'ils sont collinaires. Si le déterminant est différent de zéro, c'est qu'ils ne sont pas collinaires.
La formule des déterminants s'affiche ici. Moi, ce que je vous propose comme moyen mnémotechnique, c'est d'abord d'écrire \(u\) et \(v\) côte à côte. Donc, disons que \(u\) vaut (3,7) et \(v\) vaut (-6,-14). Ensuite, vous dessinez une croix et vous allez dire : de gauche à droite, je vais faire \(3 \times -14\) moins \(7 \times -6\).
Exemple
Donc, \(3 \times -14\) ça me fait -42 et \(7 \times -6\) ça me fait 42. La somme de ces deux valeurs donne zéro. Donc, on va écrire que le déterminant de \(u\) et \(v\) qui vaut ce calcul là vaut zéro et on peut directement conclure que \(u\) et \(v\) sont collinaires.
Le désavantage de cette méthode, c'est qu'elle ne donne pas le coefficient de proportionnalité. C'est ce qu'on va voir dans la prochaine leçon. Vous savez que \(u\) et \(v\) sont collinaires, donc vous savez que, d'après la définition, \(u\) est égal à quelque chose multiplié par \(v\), mais vous ne savez pas ce que vaut ce quelque chose. Entraînez-vous là-dessus et juste après, on verra ce quelque chose.