Exercice 1
Exercice 2

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir très simplement comment montrer que deux droites sont parallèles en utilisant les coordonnées des points.

Principe de base

Pour montrer que deux droites, disons AB et CD, sont parallèles, il faut montrer qu'un des vecteurs directeurs de AB est colinéaire à un des vecteurs directeurs de CD. Pourquoi est-ce que je dis "un des vecteurs directeurs"? Prenons cette droite AB. Vous êtes d'accord avec moi que le vecteur directeur le plus évident de la droite AB est le vecteur AB. Effectivement, ce vecteur dirige cette droite. Mais si je prends la moitié de AB, ce vecteur dirigera aussi la droite. Si je prends l'opposé de AB, ce vecteur dirigera aussi la droite. On peut donc dire que tous les vecteurs colinéaires à AB sont des vecteurs directeurs de cette droite. C'est pour ça que je dis "prendre un des vecteurs directeurs de la droite AB".

Procédure

Donc, ce qu'on va faire, c'est utiliser les vecteurs directeurs les plus simples des deux droites, à savoir le vecteur AB pour la droite AB et le vecteur CD pour la droite CD. Première étape, je calcule les coordonnées des vecteurs AB et CD. Deuxième étape, je vais calculer le déterminant de ces deux vecteurs. Troisième étape, si le déterminant est nul, ça veut dire que ces deux vecteurs, AB et CD, sont colinéaires et que, du coup, les droites AB et CD sont parallèles. Vous remarquerez que quand je parle de vecteurs, je dis "colinéaires", quand je parle de droites, je dis "parallèles". C'est un vocabulaire précis, même si ça représente grosso modo la même chose. Donc, première étape, je calcule les coordonnées de AB et CD. Les coordonnées de AB, je connais ma formule, c'est les coordonnées de B moins celles de A, donc \(3 - 1 = 2\) et \(2 - 0 = 2\). Ensuite, les coordonnées de CD sont \(2 - 8 = -6\) et \(-3 - (-3) = -6\). Si vous regardez bien, vous vous rendez compte qu'en fait ces deux vecteurs sont proportionnels. Si je multiplie \(2\) par \(-3\), j'obtiens \(-6\), et si je multiplie \(2\) par \(-3\), j'obtiens \(-6\). Donc, on le voit, les vecteurs AB et CD sont colinéaires. On va le vérifier en calculant le déterminant de AB et CD. Je vous rappelle que le déterminant se calcule en faisant \(2 \times -6 - 2 \times -6\), donc \(-12 - (-12) = 0\). Qu'est-ce qu'on en conclut? Les vecteurs AB et CD sont colinéaires et, de là, on peut en conclure que les droites AB et CD sont parallèles. Et là, vous avez compris tous les points. Entraînez-vous, ça tombe clairement en contrôle.