Ce sujet de mathématiques pour la classe de Seconde est un contrôle complet portant sur plusieurs chapitres clés du programme : les vecteurs, les taux d'évolution, les calculs numériques et littéraux, ainsi que les ensembles de nombres. Idéal pour les révisions, ce document propose une série d'exercices variés permettant de tester et de consolider ses connaissances. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque problème, en mettant l'accent sur la méthode et la justification des réponses.
Exercice 1 : Travail sur les vecteurs dans un repère
Cet exercice est un classique sur les vecteurs et la géométrie analytique. Il s'agit d'une évaluation complète des compétences de base dans un repère orthonormé \((O; I; J)\).
- Question 1 : On commence par placer les points \(R(1; -2)\), \(S(3; 2)\) et \(T(-1; 0)\). Il faut ensuite calculer les distances \(RS\) et \(TS\) en utilisant la formule de la norme d'un vecteur : \(d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\). La comparaison de ces distances permet de déduire la nature isocèle du triangle \(RST\).
- Question 2 : Cette question se concentre sur le calcul des coordonnées du vecteur \(\vec{SR}\) (\(x_{\vec{SR}} = x_R - x_S\), \(y_{\vec{SR}} = y_R - y_S\)) et sur l'utilisation de l'égalité vectorielle \(\vec{TV} = \vec{SR}\) pour déterminer les coordonnées d'un quatrième point \(V\).
- Question 3 : À partir de l'égalité vectorielle précédente, il est demandé de déterminer la nature du quadrilatère \(SRVT\). L'égalité \(\vec{TV} = \vec{SR}\) implique que \(SRVT\) est un parallélogramme.
- Question 4 : La dernière question consiste à trouver les coordonnées du centre \(K\) du parallélogramme, qui est le milieu des diagonales, par exemple le milieu de \([SV]\).
Exercice 2 : Application des taux d'évolution
Ce second exercice aborde les pourcentages, et plus spécifiquement les évolutions successives. Il est essentiel de maîtriser la notion de coefficient multiplicateur.
- Question 1 : On étudie deux remises successives, une de \(20\%\) et une de \(12\%\). Il faut calculer le coefficient multiplicateur associé à chaque remise (\(CM_1 = 1 - 0,20 = 0,8\) et \(CM_2 = 1 - 0,12 = 0,88\)), puis en déduire le coefficient multiplicateur global en les multipliant : \(CM_{global} = CM_1 \times CM_2\).
- Question 2 : Il s'agit d'un calcul de taux d'évolution réciproque. Connaissant le prix final (176€) et le coefficient multiplicateur global, on doit retrouver le prix initial en divisant le prix final par ce coefficient.
Exercice 3 : Géométrie vectorielle sans coordonnées
Cet exercice évalue la capacité à manipuler les vecteurs et la relation de Chasles dans une configuration géométrique (un parallélogramme et les milieux de ses côtés), sans l'aide de coordonnées.
Exercice 4 : Analyse critique de pourcentages
Un exercice court mais subtil qui demande une lecture attentive et une bonne compréhension de ce que représente un taux d'évolution. Il faut analyser l'affirmation d'un journaliste qui confond une augmentation en points de pourcentage (différence entre \(38,8\%\) et \(26,9\%\)) et un taux d'évolution relatif, qui se calcule par \(\frac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\).
Exercice 5 : Algorithmique et fonction Python
Cet exercice porte sur la lecture et l'interprétation d'un programme simple écrit en Python. La fonction `mystère` calcule en réalité la distance entre deux nombres \(a\) et \(b\), ce qui correspond à la valeur absolue de leur différence, \(|a-b|\).
Exercice 6 : Pourcentages et tableaux croisés
Un problème concret de gestion de données statistiques. À partir d'informations sur les effectifs et les proportions de salariés dans une entreprise, il faut compléter un tableau à double entrée. Cet exercice mobilise les compétences de calcul de pourcentages de pourcentages et de proportions conditionnelles.
Exercice 7 : Traduction d'un algorithme
Il s'agit de traduire un algorithme simple, qui calcule la somme des carrés des \(n\) premiers entiers (\(S = \sum_{k=1}^{n} k^2\)), en un programme fonctionnel en langage Python.
Exercice 8 : Simplification d'expressions vectorielles
Cet exercice est un pur entraînement au calcul vectoriel. Il faut simplifier des sommes de vecteurs en utilisant intensivement la relation de Chasles (\("vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)) et les propriétés de l'opposé d'un vecteur (\(-\vec{AB} = \vec{BA}\)).
Exercice 9 : Vrai ou Faux sur les Nombres et Calculs
Cet dernier exercice balaye un large spectre de connaissances sur les nombres et le calcul littéral. Chaque affirmation doit être justifiée.
- La parité de la somme de deux nombres impairs.
- La simplification d'expressions rationnelles.
- La simplification de racines carrées (ex: \(\sqrt{18}\)).
- Le calcul avec des puissances.
- Une propriété fausse sur la racine carrée d'une somme.
- La distinction entre nombres décimaux et nombres rationnels non décimaux (ex: \(\frac{1}{3}\)).