Contrôle Corrigé de Mathématiques pour la Seconde

Ce sujet de contrôle pour la classe de Seconde est une excellente ressource pour s'entraîner et réviser trois chapitres fondamentaux du programme de mathématiques : le calcul numérique et littéral, la résolution d'inéquations, et les fonctions affines. Chaque exercice est conçu pour évaluer des compétences précises, allant de la manipulation des expressions algébriques à l'analyse de fonctions, en passant par la résolution de problèmes concrets. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque question.

Exercice 1 : Maîtrise du Calcul avec les Racines Carrées

Cet exercice se concentre sur les calculs impliquant des racines carrées, une compétence essentielle en calcul littéral. Il est divisé en quatre questions indépendantes :

• Simplification d'expressions : Il est demandé de simplifier des sommes de racines carrées comme \(A = 2\sqrt{180} + 5\sqrt{80} - 3\sqrt{125}\) en les écrivant sous la forme \(a\sqrt{b}\). Cela nécessite de décomposer les nombres sous la racine en produits de facteurs, dont un est un carré parfait.
• Calculs et identités remarquables : Vous devrez calculer des produits comme \(C = \sqrt{50} \times \sqrt{8}\) et \(D = (5 + 2\sqrt{3})(5 - 2\sqrt{3})\), ce dernier faisant appel à l'identité remarquable \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
• Quantité conjuguée : La dernière question aborde la technique pour rendre un dénominateur rationnel, notamment pour des expressions comme \(F = \frac{2}{4 - \sqrt{3}}\), en utilisant la quantité conjuguée.

Exercice 2 : Résolution d'Inéquations

Cet exercice teste la capacité à résoudre différents types d'inéquations, une compétence clé pour l'étude de fonctions.

• Inéquation du premier degré : La première question consiste à résoudre une inéquation simple comme \(4 - 3(1 - 2x) \ge 2(x + 5) - x\).
• Inéquation produit : La deuxième question, \((6 - 3x)(2x + 5) < 0\), requiert la construction d'un tableau de signes pour déterminer les intervalles où le produit est négatif.
• Inéquation quotient : De même, la quatrième question, \(\frac{1 - 4x}{2x + 6} \ge 0\), se résout à l'aide d'un tableau de signes, en portant une attention particulière à la valeur interdite qui annule le dénominateur.

Exercice 3 : Étude d'une Fonction Affine

Cet exercice est une analyse complète d'une fonction affine \(f\) définie par les images de deux nombres, \(f(1) = 1\) et \(f(5) = -7\).

• Détermination de l'expression : Il faut d'abord retrouver l'expression algébrique de la fonction, de la forme \(f(x) = ax+b\).
• Tableaux de variation et de signes : Ensuite, il est demandé de dresser le tableau de variation (en justifiant par le signe du coefficient directeur) et le tableau de signes de la fonction.
• Représentation graphique : La compétence à tracer la droite représentative de la fonction est également évaluée.
• Comparaison d'images : La dernière question est une application directe du sens de variation de la fonction pour comparer deux nombres sans les calculer.

Exercice 4 : Lecture d'un Tableau de Signes

Cet exercice de type Vrai/Faux évalue la capacité à lire et interpréter correctement un tableau de signes donné. Il faut savoir identifier les racines, les valeurs interdites (signalées par une double barre), et le signe de l'expression sur les différents intervalles.

Exercice 5 : Développement, Factorisation et Inéquation

Cet exercice mêle calcul littéral et résolution d'inéquation autour d'une même expression \(E = (3x - 5)^2 + (3x - 5)(7x - 4)\).

• Il faut d'abord développer l'expression en utilisant les identités remarquables et la double distributivité.
• Ensuite, il est demandé de factoriser l'expression en reconnaissant le facteur commun \((3x - 5)\).
• Finalement, la forme factorisée est utilisée pour résoudre l'inéquation \(E > 0\) à l'aide d'un tableau de signes.

Exercice 6 : Problème d'Optimisation

Cet exercice est une mise en situation concrète qui aboutit à la résolution d'une inéquation du second degré. Il s'agit de modéliser l'aire de parties non utilisées lors d'une découpe, ce qui mène à une expression du second degré. Le problème guide ensuite vers la résolution de \(A(x) \le 2200\), qui se ramène à l'étude du signe d'un polynôme \((x - 140)(x - 10)\), en tenant compte des contraintes de l'énoncé.