Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7

Introduction

Allez les amis, on est parti pour apprendre à résoudre des inéquations où il y a un produit, c'est-à-dire, on multiplie deux fonctions ensemble. Admettons que vous ayez à résoudre \(3x - 2 \times (3 - x) > 0\). Le premier réflexe est de se dire si le produit de ce nombre-là par ce nombre-là est positif, ça veut forcément dire que ces deux nombres sont positifs. En effet, si je prends 1 et je multiplie par 5, les deux nombres étant positifs, \(1 \times 5\) ça fait un nombre positif. Sauf que si on raisonne comme ça, on oublie le cas où par exemple ces deux nombres peuvent être négatifs, auquel cas quand je multiplie deux nombres négatifs, ça me donne un nombre positif. Donc on ne peut pas raisonner en séparant ces deux notions.

Utilisation d'un tableau de signes

Pour résoudre ce genre d'inéquations, on va utiliser ce qu'on appelle un tableau de signes. Quand j'ai un produit d'une fonction fois une autre fonction et que j'ai une inégalité, je commence par étudier d'abord le signe de la première. C'est-à-dire, je me demande quand est-ce que \(3x - 2 > 0\). Pour résoudre cette inéquation, je vais commencer par passer mon -2 de l'autre côté, donc ça équivaut à dire que \(3x > 2\). Je ne change pas le signe de l'inégalité car je n'ai pas multiplié ou divisé par un nombre négatif, j'ai juste additionné 2 des deux côtés. Ensuite, pour isoler \(x\), je divise tout par 3, donc ça me donne \(x > \frac{2}{3}\). Maintenant, je sais que pour \(3x - 2\), quand \(x > \frac{2}{3}\), \(3x - 2\) est positif. Donc je vais mettre un \(\frac{2}{3}\) ici pour \(x\). Quand \(x > \frac{2}{3}\), \(3x - 2\) est positif et avant \(\frac{2}{3}\), elle est forcément négative.

Résolution de l'inéquation

Je recommence avec le deuxième terme, \(3 - x > 0\). Pour avoir \(x\) tout seul d'un côté, j'ai deux options : soit je l'envoie directement là, auquel cas je fais \(3 - x > 0\), soit je peux envoyer le 3 de l'autre côté et ensuite multiplier tout par -1, mais ça va compliquer la vie. Donc, \(3 - x > 0\) quand \(x < 3\). Maintenant, je peux utiliser la règle du produit. Quand \(x\) est entre -\(\infty\) et \(\frac{2}{3}\), je vais multiplier \(3x - 2\) (qui est négatif) par \(3 - x\) (qui est positif), donc j'obtiens un nombre négatif. Quand \(x\) est entre \(\frac{2}{3}\) et 3, je multiplie un nombre positif par un autre nombre positif, donc j'obtiens un nombre positif. Quand \(x\) est entre 3 et +\(\infty\), je multiplie un nombre positif par un nombre négatif, donc j'obtiens un nombre négatif. Donc, à la question "quand est-ce que \(3x - 2 \times (3 - x)\) est positif ?", je réponds que c'est positif entre \(\frac{2}{3}\) et 3. Les solutions sont donc l'ensemble qui va de \(\frac{2}{3}\) jusqu'à 3, excluant \(\frac{2}{3}\) et 3 car le produit \(3x - 2 \times (3 - x)\) équivaut à 0 et je veux que ce produit soit strictement plus grand que 0. Pour résoudre une équation produit, il faut passer par un tableau de signes. À vous de jouer maintenant !