Découvrez notre sujet de contrôle de mathématiques corrigé pour la classe de Seconde, portant sur les chapitres fondamentaux des fonctions de référence et des vecteurs. Ce sujet, prévu pour une durée d'une heure et sans calculatrice, est un excellent outil de révision et d'évaluation des compétences clés acquises en milieu d'année. Chaque exercice est analysé en détail pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et les pièges à éviter. Ce document est idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner en conditions réelles, ainsi que pour les enseignants à la recherche de supports pédagogiques.

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Exercice 1 : Encore un coup de Chasles

Cet exercice est une application directe des propriétés fondamentales du calcul vectoriel. Il vise à évaluer la maîtrise de la relation de Chasles et des opérations sur les vecteurs (somme, différence, simplification d'écritures).

• Question 1 : Il s'agit de simplifier une expression vectorielle : \( \vec{v} = \vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BC} - \vec{BA} \). La clé est d'utiliser les propriétés \( -\vec{XY} = \vec{YX} \) pour transformer les soustractions en additions, puis de regrouper astucieusement les vecteurs pour appliquer la relation de Chasles \( \vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ} \). Par exemple, \( \vec{AB} - \vec{AC} \) se simplifie en \( \vec{CB} \).
• Question 2 : Un exercice de décomposition. On vous donne l'égalité \( \vec{AT} = \vec{RT} + \vec{BS} + \dots + \vec{AB} \) et il faut trouver le vecteur manquant. L'objectif est de reconstruire le chemin du point A au point T en utilisant les vecteurs donnés et en trouvant celui qui complète la chaîne de Chasles.
• Question 3 : Ici, on demande d'exprimer un vecteur \( \vec{u} = 2\vec{FE} - \vec{EG} + 4\vec{FG} \) en fonction de deux autres vecteurs, \( \vec{EF} \) et \( \vec{EG} \). Cela nécessite de décomposer \( \vec{FG} \) en \( \vec{FE} + \vec{EG} \) et de manipuler les expressions en utilisant les règles de calcul vectoriel (distributivité du scalaire, relation entre \( \vec{FE} \) et \( \vec{EF} \)).
• Question 4 : Une démonstration classique : prouver que \( \vec{OA} - \vec{OB} + \vec{AC} = \vec{BC} \). C'est une application directe de la relation de Chasles en partant du membre de gauche pour arriver à celui de droite.
• Question 5 : Cette question introduit la notion de parallélogramme. Sachant que ABCD est un parallélogramme, il faut démontrer l'égalité \( \vec{MA} - \vec{MB} + \vec{MC} - \vec{MD} = \vec{0} \). L'astuce consiste à regrouper les termes (par exemple \( \vec{MA} - \vec{MB} = \vec{BA} \)) et à utiliser la propriété vectorielle du parallélogramme, à savoir \( \vec{AB} = \vec{DC} \), qui implique \( \vec{BA} + \vec{DC} = \vec{0} \).

Exercice 2 : Un parallélogramme de PLUS

Cet exercice se concentre sur les constructions géométriques à l'aide de vecteurs et les démonstrations de propriétés liées aux parallélogrammes. Il est essentiel de bien comprendre comment une égalité vectorielle se traduit géométriquement.

• Question 1 & 2 : Il s'agit de placer des points dans un repère à partir de définitions vectorielles. Pour placer M tel que \( \vec{PM} = \vec{PS} + \vec{IP} \), on construit la somme des deux vecteurs. Pour placer N tel que LIUN soit un parallélogramme, on utilise l'égalité \( \vec{LI} = \vec{NU} \). Ces questions testent la capacité à traduire une information vectorielle en une construction graphique.
• Question 3 : On demande de démontrer deux égalités. La première, \( \vec{PM} = \vec{IS} \), découle directement de la définition de M et d'une application de Chasles (\( \vec{IP} + \vec{PS} = \vec{IS} \)). La seconde, \( \vec{LI} = \vec{NU} \), est la définition même du fait que LIUN est un parallélogramme.
• Question 4 : La dernière étape est une déduction. En utilisant les résultats précédents et le fait que I est le centre du parallélogramme PLUS (donc le milieu de [LS], ce qui implique \( \vec{LI} = \vec{IS} \)), on peut montrer par transitivité que \( \vec{PM} = \vec{NU} \). Cette égalité vectorielle est la condition suffisante pour affirmer que le quadrilatère PMUN est un parallélogramme.

Exercice 3 : Tu as la réf ?

Cet exercice très complet balaye les quatre fonctions de référence du programme de Seconde : les fonctions carré (\( f(x) = x^2 \)), inverse (\( g(x) = 1/x \)), racine carrée (\( h(x) = \sqrt{x} \)) et cube (\( i(x) = x^3 \)). Il évalue la connaissance de leurs propriétés, ainsi que la capacité à résoudre des équations et inéquations les impliquant.

• Question 1 (Vrai/Faux) : Cette partie teste la compréhension fine des propriétés des fonctions.
  • a. Pour la fonction carré, l'implication "Si \( x^2 \ge 9 \) alors \( x \ge 3 \)" est fausse car on oublie la partie \( x \le -3 \).
  • b. Pour la fonction inverse, on vérifie la connaissance de son ensemble image : 0 n'a pas d'antécédent.
  • c. Pour la fonction racine carrée, il faut connaître son ensemble de définition et le fait qu'elle est strictement monotone.
  • d. Pour la fonction cube, la relation \( -i(x) = i(-x) \) teste la propriété de parité (ici, la fonction est impaire).
• Question 2 (Équations) : Il s'agit de résoudre des équations types pour chaque fonction de référence.
  • a. \( x^2 = 49 \)
  • b. \( 1/x = 3/2 \)
  • c. \( \sqrt{x} = \pi \)
  • d. \( x^3 = -27 \)
  Ces équations sont des classiques à maîtriser parfaitement.
• Question 3 (Inéquations) : La résolution est demandée "graphiquement", ce qui signifie qu'il faut s'appuyer sur la représentation graphique et/ou le sens de variation des fonctions pour trouver les ensembles de solutions.
  • a. \( 1 \le f(x) \le 3 \) : encadrement avec la fonction carré.
  • b. \( g(x) \ge -2 \) : inéquation avec la fonction inverse, attention au changement de signe pour \( x < 0 \).
  • c. \( h(x) > 6 \) : inéquation simple avec la fonction racine carrée.
  • d. \( i(x) > 8 \) : inéquation avec la fonction cube, qui conserve l'ordre.