Ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde est une excellente ressource pour réviser deux chapitres fondamentaux du programme : les statistiques descriptives et les vecteurs. D'une durée d'une heure, ce devoir surveillé permet d'évaluer la maîtrise des calculs de base en statistiques et la manipulation des vecteurs, que ce soit d'un point de vue analytique (avec les coordonnées) ou purement géométrique. Ce document est un support idéal pour les élèves souhaitant s'entraîner avec un contrôle corrigé et pour les enseignants à la recherche d'exemples de sujets.

Exercice 1 : Analyse Statistique d'un Jeu Télévisé (4 points)

Cet exercice aborde les statistiques à travers une situation concrète. On étudie les résultats de candidats à un jeu télévisé, présentés dans un tableau d'effectifs. Les compétences évaluées sont les indicateurs de position d'une série statistique.

• Question 1 : Calcul du nombre moyen de bonnes réponses. Il s'agit ici de calculer la moyenne pondérée \(m\) de la série. La formule à appliquer est \( m = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i} \), où \(x_i\) représente le nombre de bonnes réponses et \(n_i\) l'effectif correspondant. C'est une compétence de base en statistiques descriptives.
• Question 2 : Calcul d'un pourcentage. Une fois la moyenne \(m\) calculée, il est demandé de déterminer le pourcentage de candidats ayant obtenu un score strictement supérieur à \(m\). Cela nécessite de sommer les effectifs des classes concernées et de rapporter ce total à l'effectif global, puis de convertir le résultat en pourcentage.
• Question 3 : Détermination d'un seuil d'élimination. Cette question est plus subtile et fait appel à la notion de médiane. Pour éliminer "au moins la moitié des candidats", la production doit fixer un seuil. Cela revient à trouver la médiane de la série, qui est la valeur partageant la population en deux groupes de même effectif. Il faut donc calculer les effectifs cumulés pour identifier la valeur seuil.

Exercice 2 : Contrôle Qualité en Boulangerie (5 points)

Ce deuxième exercice de statistiques continue l'étude des séries statistiques, en introduisant les indicateurs de dispersion. Le contexte est celui d'un contrôle qualité sur la production de ficelles de pain.

• Question 1 : Calcul de la moyenne et de l'écart-type. Pour cette série statistique à plus grand effectif, l'usage de la calculatrice est fortement recommandé. Il faut calculer la moyenne \(\bar{x}\) et l'écart-type \(\sigma\). L'écart-type, racine carrée de la variance \(V\), mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. La variance est donnée par \(V = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}\) ou plus simplement avec la formule de König-Huygens.
• Question 2 : Application des indicateurs de dispersion. La question demande de calculer le pourcentage de la production qui sera écartée, c'est-à-dire dont le poids est en dehors de l'intervalle \([\bar{x} - 2\sigma ; \bar{x} + 2\sigma]\). Cet intervalle est très courant en statistiques (il contient environ 95% des valeurs pour une distribution normale). L'exercice consiste à identifier les valeurs de la série qui n'appartiennent pas à cet intervalle, à sommer leurs effectifs et à calculer le pourcentage que cela représente sur la production totale.

Exercice 3 : Géométrie Analytique : Droites et Vecteurs (5 points)

Cet exercice bascule sur le chapitre des vecteurs, traités dans un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\). Il s'agit de mettre en application les formules de la géométrie analytique.

• Question 1 : Prouver l'alignement de points. Pour démontrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés, la méthode la plus directe est de prouver que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires. On commence par calculer les coordonnées de ces deux vecteurs avec la formule \(\vec{XY}(x_Y-x_X; y_Y-y_X)\). Ensuite, on vérifie la condition de colinéarité : \(x_{\vec{u}}y_{\vec{v}} - y_{\vec{u}}x_{\vec{v}} = 0\). Si cette condition est remplie, les vecteurs sont colinéaires, et comme ils partagent le point A, les points A, B et C sont alignés.
• Question 2 : Condition de parallélisme de droites. On cherche la valeur de l'abscisse \(x\) du point \(D\) pour que la droite \((CD)\) soit parallèle à la droite \((AB)\). Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. On utilise donc les vecteurs \(\vec{CD}\) et \(\vec{AB}\) comme vecteurs directeurs. On exprime les coordonnées de \(\vec{CD}\) en fonction de \(x\), puis on applique la même condition de colinéarité que dans la question 1 pour trouver la valeur de \(x\) qui satisfait l'équation.

Exercice 4 : Manipulation Géométrique des Vecteurs (6 points)

Le dernier exercice est un problème de géométrie pure, sans coordonnées. Il est centré sur la manipulation des vecteurs à l'aide de la relation de Chasles et la démonstration de propriétés géométriques.

• Question 1 : Construction de points définis par des vecteurs. Cette question préliminaire demande de placer des points \(I\), \(J\) et \(K\) à partir de relations vectorielles comme \(3\vec{BI} = \vec{AB}\), \(\vec{CJ} = 3\vec{AC}\), et \(\vec{BK} = \vec{AC}\). Il faut savoir interpréter ces égalités pour construire géométriquement les points.
• Question 2 & 3 : Démonstration d'égalités vectorielles. L'objectif est de démontrer des égalités en décomposant les vecteurs \(\vec{IJ}\) et \(\vec{IK}\) sur une base de vecteurs, typiquement \((\vec{BA}, \vec{AC})\) ou \((\vec{AB}, \vec{AC})\). La relation de Chasles (\(\vec{UV} = \vec{UA} + \vec{AV}\)) est l'outil principal ici. Il faut l'utiliser de manière stratégique pour introduire les points et les vecteurs de la base choisie.
• Question 4 : Déduire un alignement. La conclusion de l'exercice est de prouver que les points \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés. En s'appuyant sur les expressions de \(\vec{IJ}\) et \(\vec{IK}\) trouvées précédemment, il faut montrer que ces deux vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire qu'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{IJ} = k \cdot \vec{IK}\). Si c'est le cas, les points sont bien alignés.