5. Résoudre des équations avec la fonction racine carrée

Introduction

Bonjour à tous, nous allons voir comment résoudre rapidement des équations avec la racine carrée de \(x\). Nous allons aborder quatre cas, du plus simple au plus compliqué.

Cas 1 : Résolution d'une équation avec une racine carrée positive

Pour résoudre une équation de la forme \(\sqrt{2x} = a\), il faut comprendre qu'il y a deux cas possibles. Le premier cas est lorsque \(a\) est positif. Par exemple, si nous avons \(\sqrt{x} = 4\), nous cherchons le nombre \(x\) tel que, lorsque nous le passons dans la fonction racine carrée, nous obtenons 4. Ce nombre est 16. Comment le savons-nous ? Si votre nombre est positif, la seule chose que vous avez à faire pour trouver \(x\) est de le mettre au carré. Donc, si \(\sqrt{2x} = 4\), cela signifie que \(x = 4^2 = 16\).

Cas 2 : Résolution d'une équation avec une racine carrée négative

Si votre valeur est négative, vous pouvez dire directement qu'il n'y a pas de solution. L'ensemble des solutions est l'ensemble vide. Pourquoi ? Parce que si nous avons \(-3\), il n'y a aucune valeur de \(x\) qui permettrait d'arriver à \(-3\), puisque toutes les valeurs de \(x\) donnent des valeurs de \(\sqrt{x}\) qui sont positives. Donc, la valeur \(-3\) n'a pas de solution.

Cas 3 : Résolution d'une équation avec une racine carrée et une constante

Que se passe-t-il si on vous donne une équation de ce type : \(3\sqrt{x} - 2 = 0\) ? Vous allez devoir la ramener à une des deux situations précédentes. Vous allez commencer par enlever le \(-2\) pour le passer de l'autre côté, donc \(3\sqrt{x} = 2\). Ensuite, vous allez vous débarrasser du \(3\) en divisant chaque côté par \(3\), donc \(\sqrt{x} = \frac{2}{3}\). Or, quand \(\sqrt{x}\) est égal à un nombre positif, cela signifie que \(x\) est égal à ce nombre positif au carré. Donc, \(x = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\).

Cas 4 : Résolution d'une équation avec une fonction complexe à l'intérieur de la racine carrée

Que se passe-t-il si on vous donne une équation avec une fonction complexe à l'intérieur de la racine carrée ? Par exemple, \(\sqrt{3x - 2} = 0\). Dans ce cas, vous pouvez dire que \(3x - 2 = 0^2 = 0\), donc \(x = \frac{2}{3}\). Pour récapituler, lorsque l'équation \(\sqrt{x} = a\) est positive, nous avons juste à passer \(a\) au carré pour obtenir notre solution. Par exemple, si \(\sqrt{x} = 4\), alors \(x = 4^2 = 16\). Lorsque \(\sqrt{x} = a\) est négatif, il n'y a tout simplement pas de solution.