Introduction
Bonjour à tous, nous allons résoudre très simplement une équation avec la fonction cube. Commençons sans plus tarder.
Résolution d'une équation avec la fonction cube
Pour résoudre une équation avec les fonctions caractéristiques, il faut que vous connaissiez les signes. Par exemple, nous devons représenter la fonction \(f(x) = x^3\) que l'on vous demande de résoudre. Quand est-ce que \(x^3\) est plus grand que 8 ?
Pour cela, il faut positionner 8 soit sur cet axe en abscisse, soit sur cet axe en ordonnée. Ce qui nous intéresse, c'est que \(x^3\) soit plus grand que 8, c'est-à-dire que la fonction soit plus grande que 8. La valeur de la fonction se lit toujours sur l'axe vertical. Je vous rappelle que sur l'axe horizontal, vous mettriez \(x\) et sur l'axe vertical, vous mettriez \(f(x)\).
Si c'est la fonction qui doit être plus grande que 8, cela signifie que le 8 doit apparaître sur l'axe vertical. Et comme je veux que \(x^3\) soit plus grand que 8, je veux arriver ici.
Ensuite, on teste. On prend un nombre, on l'envoie dans la fonction. Est-ce que j'arrive dans le bon endroit ? Non. Je reprends un autre nombre, je le teste. Est-ce que j'arrive au bon endroit ? Non. J'en prends un autre, je le teste. Je ne suis toujours pas au bon endroit. À partir de quel nombre suis-je dans mon intervalle ? À partir de ce nombre qui, quand je le cube, me donne 8.
Autrement dit, quel est le nombre qui, multiplié par lui-même deux fois, me donne 8 ? Parce que \(1^3 = 1\), \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\). Donc en fait, le nombre que j'ai ici est 2. Donc pour 2, j'arrive dans le bon intervalle, mais pour 3 aussi, pour 4 aussi, en fait pour tous les nombres qui sont dans cet intervalle.
Donc, pour que \(x^3\) soit plus grand que 8, les solutions sont l'intervalle qui commence à 2 et qui va infiniment loin. On dit jusqu'à plus l'infini. Il est toujours en dehors de mon intervalle, c'est-à-dire que les crochets sont toujours vers l'extérieur de l'intervalle et non vers 2. Vu que je veux être strictement plus grand que 8, il ne faut pas que je compte la valeur qui me donne 8, donc le 2, je vais l'exclure aussi en mettant les crochets vers l'extérieur. J'aurais pu écrire \(x > 2\), ce qui est exactement la même chose. \(x\) appartient à l'intervalle \(]2, +\infty[\). Si j'écris proprement comme ça, mon prof de maths est content.
Exemple supplémentaire
Prenons un autre exemple. On recommence avec \(x^3\) plus petit que 125. Donc je positionne 125 ici. Je me dis, je veux que \(x^3\) soit plus petit que 125, c'est-à-dire toutes les valeurs ici. À partir de quelle valeur est-ce que j'arrive à 125 ? Cette valeur est 5. Vu que je veux être plus petit que 125, il faut que ce soit de ce côté-là, donc entre 5 et moins l'infini.
Donc je sais que mon intervalle, ça va être de \(-\infty\) jusqu'à 5. Comme j'ai dit l'égalité stricte, j'exclus aussi le 5 et j'obtiens \(x \in ]-\infty, 5[\). Et c'est terminé. C'est tout simple, on a juste à faire quelques petits exercices, ça prend deux secondes. Vous êtes des champions !