Ce sujet de mathématiques de niveau Seconde, d'une durée d'une heure et sans calculatrice, est une excellente ressource pour s'évaluer sur les chapitres du calcul numérique et littéral, la résolution d'inéquations et la géométrie dans le plan. Téléchargez ce contrôle corrigé pour vous entraîner et maîtriser les compétences essentielles du programme.

Exercice 1 : Calculs avec les racines carrées et les identités remarquables (5 points)

Cet exercice teste votre capacité à manipuler des expressions numériques complexes.

• Question 1 : Il s'agit de simplifier et réduire l'expression `\(A = -4\sqrt{810} – 5\sqrt{360} + 6\sqrt{160}\)`. La clé est de décomposer les nombres sous les racines en produits de facteurs ou de carrés parfaits. Par exemple, `\(810 = 81 \times 10 = 9^2 \times 10\)`, ce qui permet de simplifier `\(\sqrt{810}\)` en `\(9\sqrt{10}\)`. En procédant de même pour `\(\sqrt{360}\)` et `\(\sqrt{160}\)`, on peut regrouper les termes en `\(\sqrt{10}\)` pour obtenir le résultat final.
• Question 2 : On vous demande de développer, réduire et simplifier `\(B = (4\sqrt{6} – 7)(5 – \sqrt{6}) – (5\sqrt{2}+ 2\sqrt{3})^2\)`. Cette question combine deux techniques : la double distributivité pour le premier produit et l'application d'une identité remarquable `\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)` pour le second terme. Une attention particulière est requise pour les calculs avec les racines et les signes.

Exercice 2 : Factorisation d'expressions (3 points)

Cet exercice se concentre sur la factorisation, une compétence fondamentale en calcul littéral.

• Expression C : Pour factoriser `\(C = (3x - 1)^2 - 4(5x + 1)^2\)`, il faut reconnaître l'identité remarquable de la différence de deux carrés, `\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)`. Ici, `\(a = (3x-1)\)` et `\(b = 2(5x+1)\)`. L'application de la formule mène directement à la forme factorisée.
• Expression D : La factorisation de `\(D = (3x − 1)(2x – 9) – (3x – 1)^2\)` repose sur l'identification d'un facteur commun, qui est `\((3x-1)\)`. En mettant ce facteur en évidence, on simplifie l'expression restante entre crochets pour obtenir la factorisation finale.

Exercice 3 : Inéquations et tableaux de signes (4 points)

Cet exercice évalue la résolution d'inéquations du premier et du second degré.

• Question 1 : Il faut dresser le tableau de signes de l'expression `\((8x – 16)(-2x + 2)\)`. La méthode consiste à trouver la racine de chaque facteur affine (les valeurs de `\(x\)` qui les annulent), puis à étudier le signe de chaque facteur sur `\(\mathbb{R}\)` avant de conclure sur le signe du produit grâce à la règle des signes.
• Question 2 : La résolution de l'inéquation `\((3x - 7)^2 < (5x – 9)^2\)` est plus subtile. L'erreur à éviter est de prendre la racine carrée de chaque côté. La bonne méthode est de tout ramener du même côté pour obtenir `\((3x - 7)^2 - (5x – 9)^2 < 0\)`. On reconnaît à nouveau une différence de deux carrés, que l'on factorise. On se ramène alors à une inéquation-produit qu'on résout à l'aide d'un tableau de signes, comme dans la première question.

Exercice 4 : Géométrie analytique dans un repère orthonormé (8 points)

Cet exercice complet porte sur le repérage dans le plan et mobilise plusieurs formules et propriétés géométriques. On travaille avec les points `\(A(-3; 1)\)`, `\(C(4; −6)\)` et `\(F(0; 4)\)`.

• Question 1 : On demande les coordonnées du point `\(K\)`, milieu du segment `\([CF]\)`. Il suffit d'appliquer la formule des coordonnées du milieu : `\(K(\frac{x_C+x_F}{2}; \frac{y_C+y_F}{2})\)`.
• Question 2 : Il faut démontrer que le rayon du cercle `\(\mathcal{C}\)` de diamètre `\([CF]\)` est égal à `\(\sqrt{29}\)`. Le centre du cercle est le milieu `\(K\)` du diamètre. Le rayon est la distance `\(KC\)` (ou `\(KF\)`). On utilise la formule de la distance entre deux points : `\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)`.
• Question 3 : Pour démontrer que le point `\(A\)` appartient au cercle `\(\mathcal{C}\)`, il faut montrer que la distance entre le centre `\(K\)` et le point `\(A\)` est égale au rayon. On calcule donc la distance `\(AK\)` et on vérifie qu'elle est bien égale à `\(\sqrt{29}\)`.
• Question 4 : On doit trouver les coordonnées du point `\(E\)`, symétrique de `\(A\)` par rapport à `\(K\)`. Cela signifie que `\(K\)` est le milieu du segment `\([AE]\)`. En utilisant les formules du milieu, on peut isoler et calculer les coordonnées de `\(E\)`.
• Question 5 : La dernière question demande de démontrer que le quadrilatère `\(CAFE\)` est un rectangle, sans calcul supplémentaire. Puisque `\(K\)` est le milieu de `\([CF]\)` et de `\([AE]\)`, les diagonales se coupent en leur milieu. `\(CAFE\)` est donc un parallélogramme. De plus, `\(A\)` est sur le cercle de diamètre `\([CF]\)`, donc le triangle `\(CAF\)` est rectangle en `\(A\)`. Un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle.