Ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première STI2D est une excellente ressource pour s'évaluer sur les chapitres des polynômes du second degré et de l'étude de fonctions. Conçu pour une durée d'une heure, avec calculatrice autorisée, ce devoir aborde toutes les facettes des fonctions quadratiques, de leurs différentes formes à leur application dans des problèmes concrets. C'est un outil pédagogique complet, idéal pour la révision avant une évaluation. Ce contrôle corrigé permet de valider la maîtrise des compétences essentielles du programme.

Exercice 1 : Une parabole sous toutes ses formes (6 points)

Cet exercice se concentre sur l'analyse complète d'une fonction polynôme du second degré donnée sous sa forme factorisée, \( f(x) = -2(x - 1)(x - 5) \), sur l'intervalle \( [0; 6] \). Une représentation graphique de la parabole \( C_f \) est fournie pour appuyer le raisonnement.

• Question 1 : Identification des racines. Il s'agit de résoudre l'équation \( f(x) = 0 \), ce qui est immédiat grâce à la forme factorisée. Les racines sont les valeurs qui annulent chaque facteur.
• Question 2 : Orientation de la parabole. En se basant sur le signe du coefficient dominant \( a \) (ici \( a = -2 \)), on doit justifier si la parabole est tournée vers le haut (convexe) ou vers le bas (concave).
• Question 3 : Axe de symétrie et sommet. La détermination de l'équation de l'axe de symétrie, qui passe par le milieu des racines, et le calcul des coordonnées du sommet \( S(\alpha, \beta) \) sont demandés.
• Question 4 : Passage à la forme développée. L'objectif est de développer l'expression factorisée pour obtenir la forme standard \( f(x) = -2x^2 + 12x - 10 \).
• Question 5 : Tableau de signes. Il faut dresser le tableau de signes de \( f(x) \) sur \( [0; 6] \), en utilisant les racines trouvées précédemment et le signe de \( a \).
• Question 6 : Résolution d'équation. La dernière question demande de résoudre l'équation \( f(x) = 6 \), d'abord par une lecture graphique sur la courbe fournie, puis par le calcul en vérifiant et utilisant l'identité \( f(x) - 6 = -2(x - 2)(x - 4) \). Cela teste la capacité à trouver les coordonnées des points d'intersection entre une parabole et une droite horizontale.

Exercice 2 : Le jet d'eau (6 points)

Ce deuxième exercice est un problème de modélisation. La trajectoire d'un jet d'eau est modélisée par la fonction quadratique \( h(x) = -0,5x(x - 6) \) où \( x \) représente la distance horizontale. C'est une application directe des polynômes du second degré à une situation physique.

• Question 1 : Calcul et interprétation d'images. On demande de calculer \( h(0) \) et \( h(6) \) et d'expliquer ce que ces valeurs représentent dans le contexte du problème (le point de départ et le point de retombée du jet).
• Question 2 : Recherche du maximum. Il faut justifier que la hauteur maximale est atteinte pour \( x=3 \) et la calculer. Cela revient à trouver les coordonnées du sommet de la parabole, dont l'abscisse est le milieu des racines.
• Question 3 : Tableau de variations. Dresser le tableau de variations de la fonction \( h \) sur l'intervalle \( [0; 6] \) permet de synthétiser la croissance puis la décroissance de la hauteur du jet.
• Question 4 : Résolution d'inéquation. Cette question demande de déterminer pour quelles distances \( x \) le jet d'eau dépasse une hauteur de 4 mètres. Il faut pour cela résoudre l'inéquation \( h(x) > 4 \), ce qui est facilité par l'identité fournie \( h(x) - 4 = -0,5(x - 2)(x - 4) \) et l'utilisation d'un tableau de signes.

Exercice 3 : Degré 3 et racine cubique (8 points)

L'exercice final se divise en deux parties, testant la compréhension des polynômes de degré supérieur et des notions de base sur les équations.

• Partie A : Étude d'une fonction polynôme de degré 3, \( g(x) = 0,5x^3 - x^2 - 2,5x + 3 \). Les questions guident l'élève à travers l'analyse : vérifier que des nombres donnés sont des racines, utiliser ces racines pour établir la forme factorisée \( g(x) = 0,5(x + 2)(x - 1)(x - 3) \), dresser le tableau de signes (produit de trois facteurs affines) et enfin résoudre l'inéquation \( g(x) < 0 \).
• Partie B : Vrai ou Faux. Trois affirmations sont à évaluer en justifiant la réponse :
  1. La première porte sur le nombre de solutions de l'équation \( x^2 = 9 \), testant la connaissance des racines carrées.
  2. La deuxième est un petit problème concret sur le volume d'un cube (\( V = a^3 \)), nécessitant de calculer ou vérifier une racine cubique.
  3. La troisième concerne les racines et la forme factorisée d'un polynôme du second degré simple, \( p(x) = 3x^2 - 12 \).

En conclusion, ce sujet de maths est un excellent entraînement pour les élèves de Première STI2D, couvrant de manière exhaustive les compétences relatives aux polynômes du second degré, leur manipulation algébrique (formes factorisée, développée), leur analyse (signe, variations, extremum) et leur application.