5. Résoudre une équation du second degré

Introduction

On est parti pour apprendre à résoudre ce type d'équation \(2x²+2x -12 = 0\) et \(x² - 2 x + 1 = 0\). Bref, quand est-ce qu'un polynôme est égal à zéro? Prenons un exemple tout bête \(3x^2 - 5x + 2 = 0\). Se demander quand ce polynôme est nul, c'est se dire : "Bon, moi je sais que mon polynôme a grossièrement la forme d'une parabole. Si je veux savoir quand il s'annule, je veux savoir quand est-ce qu'il coupe la droite horizontale, l'axe des abscisses". En effet, annuler une fonction, c'est trouver les valeurs de \(x\) (avec \(x\) étant la valeur sur l'axe horizontal) qui nous permettent d'annuler ce polynôme.

Calcul du discriminant

La première étape consiste à calculer ce qu'on appelle le discriminant, qui se note \(\Delta\). C'est une lettre grecque et qui vaut \(B^2 - 4AC\). Question : que valent \(A\), \(B\) et \(C\)? Puisque là je suis parti du \(B\), du \(A\) et du \(C\), donc il va falloir les trouver. Et bien c'est pas compliqué, \(A\), \(B\), \(C\) on va les écrire \(A = \), \(B = \) et \(C = \). Et ces nombres là, c'est les nombres qu'on va retrouver respectivement devant \(x^2\), devant \(x\) et tout seul en constante à la fin. Le \(A\) il est facile à voir, le \(A\) c'est ce qu'il y a devant le \(x^2\). Donc mon \(A\) vaut 2, mon \(B\) c'est ce qu'il y a devant le \(x\), il vaut 2 et mon \(C\) c'est ce qui est tout seul derrière, donc c'est moins 12.

Calcul des racines

Une fois que j'ai calculé mon \(\Delta\), donc mon \(\Delta\) ici il vaut \(B^2\) donc \(2^2 - 4 \times 2 \times -12\). Attention aussi, ça c'est un coup à perdre des points. Donc \(2^2 = 4\), \(4 \times 2 = 8\), \(8 \times -12 = -96\). Donc ça me fait \(4 - (-96) = 100\). Et ça me fait 100, j'ai un nombre qui a un carré parfait, 100 c'est \(10 \times 10\). Ça, ça va nous servir. Pourquoi? Parce que quand \(\Delta\) est positif, ça veut dire que cette solution là, ce polynôme, il va s'annuler deux fois, exactement comme dans le dessin. Du coup, je sais que mes deux solutions, c'est \(X1 = - B - \sqrt{\Delta} / 2A\) et \(X2 = - B + \sqrt{\Delta} / 2A\). Vous voyez que la seule chose qu'on a changé, c'est que là on avait un moins et là on est passé à un plus.

Conclusion

Pour résumer, on a trois cas de figure : quand le discriminant est positif, je calcule deux racines ; quand le discriminant est nul, je calcule une racine ; et quand le discriminant est négatif, je n'ai pas de racine. Les deux formules à retenir sont celle du discriminant qui est \(B^2 - 4AC\) et les deux autres formules sont \(X1 = - B - \sqrt{\Delta} / 2A\) et \(X2 = - B + \sqrt{\Delta} / 2A\). On vous a mis une flopée d'exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions!