2. Tableau de variation d'un polynôme du second degré

Introduction

Dans cet énoncé, nous allons apprendre à dresser le tableau de variation d'un polynôme du second degré, comme celui qui nous est donné : \(f(x) = 2x^2 - 4x + 5\). Sachant que vous êtes en début de première et que vous avez quasiment aucun outil à votre disposition, la technique pour cela est très simple : il faut absolument passer par la forme canonique.

Forme canonique

La forme canonique, en réalité, vous allez l'oublier très rapidement. Elle ne sert qu'à une seule chose : au début de la première, pour dresser des tableaux de variation de fonction polynôme du second degré et éventuellement résoudre des équations. Pour notre fonction \(f(x)\), nous allons utiliser la forme canonique que nous avons trouvée dans la compétence précédente. Si vous avez un doute, n'hésitez pas à aller voir la compétence 1 qui explique comment calculer la forme canonique d'un polynôme. Nous calculons notre forme canonique en faisant notre \(\alpha\) et notre \(\beta\), \(\beta\) étant égal à \(f(\alpha)\), et nous trouvons une forme canonique qui est de facteurs de \((x-1)^2 + 3\). Les nombres qui nous intéressent sont \(\alpha\), \(\beta\) et \(a\), sachant que \(a\) vous est donné de manière quasiment cadeau dans l'énoncé. Le \(a\) est ce qu'il y a devant le \(x^2\).

Tableau de variation

Une fois que nous avons fait cela, nous retenons que \(\alpha\) et \(\beta\) sont respectivement les abscisses et les ordonnées du sommet ou du minimum de la courbe représentative. Nous allons faire apparaître un point ici qui aura pour abscisse \(\alpha\) et pour coordonnée \(\beta\). Nous savons que ce point correspond soit à un minimum, soit à un maximum. Si c'est un minimum, cela signifie que notre fonction aura une tête comme cela. Si ce point, ce sommet, est un maximum, alors notre fonction ressemblera à cela. Pour savoir si le point que nous cherchons est un maximum ou un minimum, c'est très simple : il suffit de regarder le signe de \(a\). En effet, si \(a\) est positif, cela signifie que la fonction va d'abord descendre puis monter. Et si \(a\) est négatif, c'est qu'elle va d'abord monter puis descendre. Dans ce cas, j'ai \(a > 0\) et dans ce cas, j'ai \(a < 0\). Vous remarquerez que les variations sont constantes avant et après \(\alpha\) et \(\beta\). Autrement dit, ce polynôme est strictement croissant avant \(\alpha\) et strictement décroissant après \(\alpha\). Comment allons-nous utiliser cela pour faire notre tableau de variation ? Nous allons faire un joli tableau. Nous allons mettre \(x\) ici pour dire que nous allons faire varier les valeurs de \(x\) de \(-\infty\) à \(+\infty\). Une fois que nous aurons fait apparaître \(-\infty\) et \(+\infty\), nous allons faire apparaître les coordonnées de \(\alpha\) et de \(\beta\). Ensuite, nous allons nous demander si nous sommes dans le cas d'un polynôme qui est croissant ou si nous sommes dans le cas d'un polynôme qui est décroissant. Nous regardons notre énoncé et nous voyons que notre polynôme, vu que \(a\) est positif, est décroissant puis croissant. Donc, nous savons déjà que les flèches qui vont apparaître ici sont décroissantes puis croissantes. C'est notre fonction \(f\) qui est décroissante puis croissante. Et ici, nous n'avons plus qu'à faire apparaître la valeur de \(\beta\) qui vaut 3. Cette technique est vraiment la base de ce qu'on attend de vous en début de première. Très rapidement, vous allez faire vos tableaux de manière complètement différente, c'est-à-dire que vous allez plutôt les dériver et à partir de la dérivée, vous pourrez avoir le tableau de variation en un claquement de doigts. En attendant, ce que je vous demande d'être capable de faire, c'est de retrouver ce tableau en calculant les formes de \(\alpha\) et \(\beta\) et en faisant le petit tableau de variation. Ce que je vous recommande de faire, c'est d'aller travailler un peu la compétence 1 si vous ne l'avez pas faite. Et si vous l'avez faite, vous pouvez déjà attaquer les exercices qui sont en dessous, qui sont très simples au début et plus compliqués à la fin. En attendant, à vous de jouer, vous êtes des champions !